26.Что такое точечное оценивание? Приведите свойства точечных оценок, оценки

математического ожидания, дисперсии.

Точечное оценивание - это вид статистического оценивания, при котором значение неизвестного параметра приближается отдельным числом. То есть необходимо указать функцию от выборки (статистику). , значение которой будет рассматриваться в качестве приближения к неизвестному истинному значению . Свойства точ. Оценок: 1. Оценка называется несмещённой, если

где обозначает математическое ожидание. 2. Оценка называется состоятельной, если , по вероятности при . 3. Оценка называется сильно состоятельной, если , почти наверное при .

Свойства математического ожидания: 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. 3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин. 4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Дисперсия любой случайной величины независимо от вида распределения, которому она подчиняется обладает следующими свойствами. 1.ДИСПЕРСИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ РАВНО НУЛЮ. Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a)=M[(a-M(a))2]=M[0]=0. 2. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ НЕСЛУЧАЙНОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИН РАВНА ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (ДИСПЕРСИЯ ИНВАРИАНТНА СДВИГУ). Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a+x)=M[(a+x-M(a+x))2]= M[(x-M(x))2]=D(x). 3.ДИСПЕРСИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА СЛУЧАЙНУЮ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА КВАДРАТ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a*x)=M[(a*x-M(a*x))2]=M[(a*(x-M(x))2]=M[a2*(x-M(x))2]=a2*D(x). 4. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН И УДВОЕННОЙ КОВАРИАЦИИ ЭТИХ ВЕЛИЧИН. Пусть x и у - случайные величины. Тогда D(x+y)=M[((x+y)-M(x+y))2]= =M[((x-Mx)+(y-My))2]=M[(x-Mx)2+(y-My)2+2*(x-Mx)*(y-My)]=M[(x-Mx)2]+ +M[(y-My)]+2*M[(x-Mx)*(y-My)]=D(x)+D(y)+2*COV(x,y).

Величина COV(x,y)=M[(x-Mx)*(y-My)] называется ковариацией и обладает свойством: ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОВАРИАЦИЯ ВСЕГДА РАВНА НУЛЮ. Отсюда, следует: ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ (И ТОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН.

27.Раскройте метод наибольшего правдоподобия и метод моментов нахождения оценок параметров распределений.

Метод наибольшего правдоподобия - метод поиска модели, наилучшим в каком-то смысле образом описывающей обучающую выборку, полученную с некоторым неизвестным распределением. Пусть на вход подается некоторая величина x, а на выходе имеется величина y. Также существует условная вероятность , описывающая вероятность получить на выходе величину y, если на вход была подана величина x. Если множество величин не дискретно, то условная вероятность заменяется на условную плотность распределения. Считается, что эта условная вероятность нам неизвестна. Пусть имеется некоторое множество моделей, описываемых различными условными вероятностями , где играет роль индекса, приписываемого конкретной модели, и может вообще говоря иметь любую природу. Пусть также существует обучающая выборка порождённая с неизвестной условной вероятностью . Причем, считается, что все пары порождаются независимо. Требуется на основании обучающей выборки выделить из множества моделей (то есть выбрать ) ту, что наилучшим образом подходит к обучающей выборке. Метод моментов заключается в следующем: любой момент случайной величины (например, -й) зависит, часто функционально, от параметра . Но тогда и параметр может оказаться функцией от теоретического -го момента. Подставив в эту функцию вместо неизвестного теоретического -го момента его выборочный аналог, получим вместо параметра оценку Пусть , , — выборка объема из параметрического семейства распределений , где . Выберем некоторую функцию так, чтобы существовал момент и функция была обратима в области . Тогда в качестве оценки для возьмем решение уравнения   Или (что то же самое), сначала решаем уравнение (3) относительно , а затем вместо истинного момента берем выборочный: Чаще всего в качестве функции берут . В этом случае и, если функция обратима в области , то Можно сказать, что мы берем в качестве оценки такое (случайное) значение параметра , при котором истинный момент совпадает с выборочным.

28.Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность? Приведите методы построения доверительных интервалов?

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ* параметра Θ называется вероятность γ того, что выполняется неравенство | Θ* - Θ | < δ. Если заменить это неравенство двойным неравенством — δ < Θ* - Θ < δ, то получим: p ( Θ* - δ < Θ < Θ* + δ ) = γ. Таким образом, γ есть вероятность того, что Θ попадает в интервал ( Θ* - δ, Θ* + Доверительным называется интервал, в который попадает неизвестный параметр с заданной надежностью γ. Построение доверительных интервалов. 1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии. 2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии. 3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.

29. Что представляют собой доверительные интервалы для математического ожидания и для дисперсии нормально распределенной случайной величины? Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном . Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение этого распределения -. Требуется оценить математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью . Выборочную среднюю будем рассматривать как случайную величину ( она изменяется от выборки к выборке), выборочные значения признака- как одинаково распределенные независимые СВ с математическим ожиданием каждой а и средним квадратическим отклонением . Примем без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами .Потребуем, чтобы выполнялось равенство Заменив Х и , получим получим Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном .. В качестве неизвестного параметра  используют исправленную дисперсию s² . Заменяя  на s, t на величину t_. Значение этой величины зависит от надежности  и объема выборки n и определяется по " Таблице значений t_."  Итак : и доверительный интервал имеет вид Доверительный интервал для оценки дисперсии Требуется оценить неизвестную генеральную дисперсию и генеральное среднее квадратическое отклонение по исправленной дисперсии, т.е. найти доверительные интервалы, покрывающие параметры D и  с заданной надежностью . Потребуем выполнения соотношения . Раскроем модуль и получим двойное неравенство: . Преобразуем .Обозначим  величина q находится по  "Таблице значений q"и зависит от надежности и объема выборки) тогда доверительный интервал для оценки генерального среднего квадратического отклонения имеет вид: . Замечание : Так как  >0, то если q >1 , левая граница интервала равна 0: 0<  < s ( 1 + q ).