Задания и методические указания

Данные к заданиям приведены в таблицах 1 и 2 приложения А.

Задание №1

Вычислить статистические вероятности безотказной работы и отказа объекта для заданного значения , указанного в табл.1 приложения А. Затем рассчитать значение вероятности безотказной работы по первым 20 и 50 значениям наработки до отказа, указанным для соответствующего варианта в табл.1 приложения А. Для заданной наработки рассчитать математическое ожидание числа работоспособных устройств при общем числе находившихся в эксплуатации устройств, указанном в таблице 2 приложения А.

Методические указания. Наработка до отказа объектов - непрерывная случайная величина Т. По результатам наблюдений в эксплуатации партии из объектов получена дискретная совокупность значений , которые приведены в таблице 1 приложения А.

Статистически вероятность безотказной работы устройства для наработки определяется как

, (1)

где – число объектов, работоспособных на момент времени . Для определения из таблицы1 приложения А следует выбрать значения Т_i, превышающее .

Вероятность отказа объекта за наработку статистически определяется как

, (2)

где – число объектов, неработоспособных к наработке (N=70). Для определения из табл.1 следует выбрать значения Т_i, меньшее .

Поскольку , то = 1. Подсчет этой суммы используйте для проверки своих вычислений.

Оценку вероятности безотказной работы устройства по первым 20-ти и 50-ти значениям наработки до отказа обозначим, как . Её значение определяется также по формуле (1), но при этом N=20 и N=50, и число работоспособных объектов выбирается из совокупности N = 20 и N=50. По результатам вычислений необходимо построить график = f(N).

Будем считать, что условия опыта, включающего 70 наблюдений, позволили однозначно определить вероятность безотказной работы устройства, т.е. . Здесь – функция распределения случайной величины «наработка до отказа», определяющая вероятность события при условии .

Тогда с учетом формулы (1) математическое ожидание числа объектов

,

где – объем партии устройств, определяемый по таблице 2 приложения А.

Задание №2

Рассчитать среднюю наработку до отказа рассматриваемого устройства. Первоначально вычисления произвести непосредственно по выборочным значениям Т,

указанным в таблице 1 приложения А, а затем с использованием ранжированного статистического ряда значений наработки до отказа.

Методические указания. Среднее значение случайной величины Т по её выборочным значениям вычисляют по формуле

. (3)

В выражении (3) равно числу значений Т в таблице 1 приложения А для конкретного варианта задания. Для упрощения и ускорения вычислений значения наработки до отказа необходимо построить в ранжированный ряд, от минимального значения до максимального, (5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10,

10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16 и т.д.) и весь диапазон наблюдаемых значений Т, от минимального значения до максимального, разделить на интервалов или «разрядов». Затем подсчитывают число значений , приходящихся на каждый m –й разряд. Результаты такого подсчета удобно записывать в форме таблицы 1. В таблице статистический ряд приведен на примере варианта 9.

Таблица 1 - Преобразование значений наработки до отказа в статистический ряд

Интервал		Число попаданий на интервал ni	Статистическая вероятность
№№	Нижняя и верхняя границы, ч
1	4,5 - 6,5	9	0,13
2	6,5 - 8,5	13	0,19
3	8,5 – 10,5	18	0,25
4	10,5 - 12,5	14	0,2
5	12,5 – 14,5	n5 =10	q5 = 0,14
6	14,5 – 16,5	n6 = 6	q6 = 0,09

Длины всех разрядов чаще всего принимают одинаковыми, а число разрядов обычно устанавливают порядка 10. Для выполнения данного задания примите ∆t = 2·10³ч, а m = 6. Для примера в таблице 1 указаны результаты систематизации в виде статистического ряда 70 значений случайной величины, распределенной на интервале (4,5 – 16,5)·10³ ч.

Заполнять таблицу не сложно: последовательно рассматривая массив значений { }, построенный в ранжированный ряд, легко оценить к какому разряду относится каждое число. Затем подсчитывают – число попаданий значений случайной величины соответственно в 1-й,…,i-й,…,m-й разряд. Правильность подсчетов определяют, используя соотношение:

.

Нижнюю границу интервала устанавливают, пользуясь таблицей .1 приложения А.

Статистический ряд можно отразить графически, как показано на рисунке 1.

Error: Reference source not found

С этой целью по оси абсцисс отложите разряды и на каждом разряде постройте прямоугольник, высота которого равна статической вероятности попадания случайной величины на данный интервал. Здесь соответственно верхние границы 1-го,…,i-го,…,m-го интервалов, определяемые принятыми значениями и .

Статистическая вероятность попадания случайной величины на -ый интервал рассчитывается как

.

Подсчитайте значения для всех разрядов и проверьте правильность расчетов, используя выражение

.

Для расчета среднего значения случайной величины в качестве «представителя» всех её значений, принадлежащих i-му интервалу, принимают его среднюю величину . Тогда средняя наработка до отказа определяется как

. (4)

Расчет с использованием формулы (4) вносит некоторую методическую ошибку. Однако её значение обычно пренебрежимо мало. Эту ошибку в своих расчетах оцените по формуле

,

где и – средние значения, вычисленные с использованием формул (3) и (4).