2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину

, (18.2)

где - выборочное среднее, s – исправленная дисперсия, п – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента (см. лекцию 12) с k = n – 1 степенями свободы.

Поскольку плотность распределения Стьюдента , где , явным образом не зависит от а и σ, можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал (- tγ , tγ ), учитывая четность плотности распределения, следующим образом: . Отсюда получаем:

(18.3)

Таким образом, получен доверительный интервал для а, где tγ можно найти по соответствую-щей таблице при заданных п и γ.

Пример. Пусть объем выборки п = 25, = 3, s = 1,5. Найдем доверительный интервал дляа при γ = 0,99. Из таблицы находим, что tγ (п = 25, γ = 0,99) = 2,797. Тогда , или 2,161< a < 3,839 – доверительный интервал, в который попадает а с вероятностью 0,99.

Доверительный интервал

Доверительный интервал - это допустимое отклонение наблюдаемых значений от истинных. Размер этого допущения определяется исследователем с учетом требований к точности информации. Если увеличивается допустимая ошибка, размер выборки уменьшается, даже если уровень доверительной вероятности останется равным 95%.

Доверительный интервал показывает, в каком диапазоне расположатся результаты выборочных наблюдений (опросов). Если мы проведем 100 одинаковых опросов в одинаковых выборках из единой генеральной совокупности (например, 100 выборок по 1000 человек в каждой в городе с населением 5 миллионов человек), то при 95%-й доверительной вероятности, 95 из 100 результатов попадут в пределы доверительного интервала (например, от 28% до 32% при истинном значении 30%).

53. Точечная оценка

- статистическая оценка, значения к-рой суть точки во множестве значений оцениваемой величины.

Пусть по реализации случайного вектора принимающего значения в выборочном пространстве надлежит оценить неизвестный параметр (или нек-рую функцию Тогда любая статистика Т n=Т п (Х),осуществляющая отображение множества в (или в множество значений функции наз. точечной оценкой параметра (оцениваемой функции Важными характеристиками Т. о. Т п являются ее математич. ожидание

и дисперсионная матрица (ковариационная матрица)

Вектор наз. вектором ошибок Т. о. Т п. Если

- нулевой вектор при всех то говорят, что Т п является несмещенной оценкой функции или что Т п лишена систематич. ошибки, в противном случае Т. о. Т п наз. смещенной, а вектор - смещением или систематической ошибкой Т. <о. Качество Т. о. определяется с помощью функции риска.

Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметра

генеральной совокупности (или случайной величины , определенной на

множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот

параметр через . По сделанной выборке по определенным правилам

найдем числа 1 и 2, так чтобы выполнялось условие:

P(1< < 2) =P ((1; 2)) =

Числа 1 и 2 называются доверительными границами, интервал (1, 2)

– доверительным интервалом для параметра . Число называется

доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.

Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0.95,