Задание 7.

Определить тесноту парной связи и форму связи с использованием корреляционно-регрессивного анализа между признаками среднегодовая стоимость основных фондов и среднесписочная численность рабочих.

7.1. В качестве исходной информации использовать индивидуальные значения признаков по предприятиям.

Линейная зависимость:

Данный вид зависимости описывается уравнением:

Для определения параметров и на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

Где:

- индивидуальное значение соответственно факторного и результативного признаков;

- параметры уравнения регрессии.

Из решения системы уравнений получаются следующие параметры уравнения регрессии.

Для нахождения параметров уравнения составим вспомогательную таблицу (Таблица 8).

Таблица 8

Номер предприятия	Среднегодовая стоимость основных фондов	Среднесписочная численность рабочих
1	180,1	165	32436,01	29716,5	27225
2	294,5	223	86730,25	65673,5	49729
3	420,8	545	177072,6	229336	297025
4	469,7	604	220618,1	283698,8	364816
5	426,9	454	182243,6	193812,6	206116
6	552,4	504	305145,8	278409,6	254016
7	664,6	563	441693,2	374169,8	316969
8	784,2	606	614969,6	475225,2	367236
9	341,8	442	116827,2	151075,6	195364
10	438	214	191844	93732	45796
11	825,4	704	681285,2	581081,6	495616
12	179,8	184	32328,04	33083,2	33856
13	551,5	575	304152,3	317112,5	330625
14	323,4	222	104587,6	71794,8	49284
15	354,2	332	125457,6	117594,4	110224
16	551,9	582	304593,6	321205,8	338724
17	228,3	304	52120,89	69403,2	92416
18	367,4	501	134982,8	184067,4	251001
19	930,3	752	865458,1	699585,6	565504
20	179,6	275	32256,16	49390	75625
21	404,8	211	163863	85412,8	44521
22	473,3	466	224012,9	220557,8	217156
23	180,4	187	32544,16	33734,8	34969
24	828,3	711	686080,9	588921,3	505521
25	862,8	665	744423,8	573762	442225
∑	11814,4	10991	6857727	6121557	5711559

y= + *x

Т. к. , то связь между исследуемыми признаками является прямой, т. е. увеличение факторного признака влечёт за собой увеличение и результативного признака.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который определяется по формуле:

=

Величина линейного коэффициента корреляции 0,876 говорит о наличии тесной прямой связи между среднегодовой стоимостью основных фондов и среднесписочной численностью рабочих.

Так же наличие этой связи можно рассмотреть на графике:

При подборе адекватной математической функции важное значение имеет остаточная дисперсия результативного признака.

Где:

- соответственно эмпирическое (фактическое) и выровненные значения результативного признака.

Чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше подбор линии регрессии, т. к. эта линия должна проходить в максимальной близости от эмпирических данных. Таким образом, сравнив остаточную дисперсию двух видов зависимостей, мы сможем сделать вывод о том, какая из них подходит больше.

Рассчитаем остаточные дисперсии результативного признака для степенной зависимости.

Расчётная таблица для определения дисперсии результативного признака (Таблица 9).

Таблица 9.

Номер предприятия	Среднесписочная численность рабочих	у(х)
1	165	226,80	3819,82
2	223	310,05	7578,35
3	545	401,96	20459,77
4	604	437,55	27706,62
5	454	406,40	2265,63
6	504	497,73	39,34
7	563	579,38	268,17
8	606	666,41	3649,24
9	442	344,47	9511,32
10	214	414,48	40191,76
11	704	696,39	57,91
12	184	226,59	1813,60
13	575	497,07	6072,64
14	222	331,08	11899,38
15	332	353,50	462,14
16	582	497,36	7163,26
17	304	261,88	1774,10
18	501	363,10	19015,55
19	752	772,73	429,57
20	275	226,44	2357,99
21	211	390,32	32155,36
22	466	440,17	667,36
23	187	227,02	1601,84
24	711	698,50	156,24
25	665	723,61	3434,69
Итого	10991		204551,64

Степенная зависимость:

Данный вид зависимости описывается уравнением:

Для определения параметров производится логарифмирование степенной функции:

Для определения параметров логарифмической функции строится система нормальных уравнений по способу наименьших квадратов:

Для нахождения параметров уравнения составим вспомогательную таблицу (Таблица 10).

Таблица 10.

Номер предприятия	Среднегодовая стоимость основных фондов	Среднесписочная численность рабочих	lgx		lgy	lgy*lgx
1	180,1	165	2,26	5,09	2,22	5
2	294,5	223	2,47	6,10	2,35	5,80
3	420,8	545	2,62	6,89	2,74	7,18
4	469,7	604	2,67	7,14	2,78	7,43
5	426,9	454	2,63	6,92	2,66	6,99
6	552,4	504	2,74	7,52	2,70	7,41
7	664,6	563	2,82	7,97	2,75	7,76
8	784,2	606	2,89	8,38	2,78	8,05
9	341,8	442	2,53	6,42	2,65	6,70
10	438	214	2,64	6,98	2,33	6,16
11	825,4	704	2,92	8,51	2,85	8,31
12	179,8	184	2,25	5,08	2,26	5,11
13	551,5	575	2,74	7,52	2,76	7,57
14	323,4	222	2,51	6,30	2,35	5,89
15	354,2	332	2,55	6,50	2,52	6,43
16	551,9	582	2,74	7,52	2,76	7,58
17	228,3	304	2,36	5,56	2,48	5,86
18	367,4	501	2,57	6,58	2,70	6,93
19	930,3	752	2,97	8,81	2,88	8,54
20	179,6	275	2,25	5,08	2,44	5,50
21	404,8	211	2,61	6,80	2,32	6,06
22	473,3	466	2,68	7,16	2,67	7,14
23	180,4	187	2,26	5,09	2,27	5,13
24	828,3	711	2,92	8,52	2,85	8,32
25	862,8	665	2,94	8,62	2,82	8,29
Итого	11814,4	10991	65,54	173,03	64,89	171,11

lgy = - *lgx

При парных нелинейных зависимостях для определения тесноты связи между результативным и факторным признаками и оценки степени влияния факторного признака на результативный используются индексы корреляции и детерминации.

• Индекс корреляции:

Где:

- факторная дисперсия результативного признака у;

- общая дисперсия результативного признака.

Величина индекса корреляции находится в пределах от -1 до +1. Чем ближе по абсолютной величине индекс корреляции к 1, тем теснее связь.

Факторная дисперсия рассчитывается следующим образом:

Где:

- теоретическое значение результативного признака (значение линии регрессии) при значении факторного признака ;

- среднее значение результативного признака.

Общая дисперсия результативного признака:

Где:

- эмпирическое значение результативного признака.

• Индекс детерминации

Показывает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т. е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака у объясняется изучаемым фактором х.

Таблица 11.

Номер предприятия	Среднегодовая стоимость основных фондов	Среднесписочная численность рабочих
1	180,1	165	408,23	986,81	75427,13	59159,08
2	294,5	223	408,22	987,19	46932,89	34306,58
3	420,8	545	408,22	987,47	11100,73	18709,86
4	469,7	604	408,21	987,55	27014,21	38331,90
5	426,9	454	408,22	987,48	206,21	2096,19
6	552,4	504	408,21	987,68	4142,21	9175,21
7	664,6	563	408,21	987,82	15217,69	23959,82
8	784,2	606	408,21	987,95	27675,65	39121,53
9	341,8	442	408,22	987,31	5,57	1141,19
10	438	214	408,22	987,50	50913,41	37719,66
11	825,4	704	408,21	987,99	69886,21	87493,06
12	179,8	184	408,23	986,81	65351,81	50277,48
13	551,5	575	408,21	987,68	18322,33	27818,01
14	323,4	222	408,22	987,27	47367,17	34677,60
15	354,2	332	408,22	987,34	11586,37	5809,20
16	551,9	582	408,21	987,68	20266,37	30202,03
17	228,3	304	408,22	987,00	18398,21	10862,54
18	367,4	501	408,22	987,36	3765,05	8608,56
19	930,3	752	408,21	988,08	97568,77	118194,1
20	179,6	275	408,23	986,81	27106,33	17749,28
21	404,8	211	408,22	987,44	52276,25	38894,34
22	473,3	466	408,21	987,56	694,85	3339,16
23	180,4	187	408,23	986,82	63826,97	48941,11
24	828,3	711	408,21	987,99	73636,25	91683,17
25	862,8	665	408,21	988,02	50787,13	65942,54
Итого	11814,4	10991	10205	24686,59	879475,8	904213,2

Вывод: данный полученный индекс корреляции свидетельствует о том, что связь между среднегодовой стоимостью основных фондов и среднесписочной численностью рабочих отсутствует.

Рассчитаем остаточную дисперсию результативного признака:

Сравним индекс корреляции результативного признака у линейной и степенной зависимости. У линейной зависимости он равен , а у степенной 0,168. Чем больше индекс корреляции, тем лучше подбор линии регрессии. Таким образом, надо выбрать линейный вид зависимости. Эта линия должна проходить в максимальной близости от эмпирических данных.

Так же это можно рассмотреть на графике, где изображены исследуемые виды зависимостей.

7.2. Исследовать линейный вид зависимости

Модель регрессии может быть построена по сгруппированным данным (Таблица 12). Для выявления связи между признаками по достаточно большому количеству наблюдений используется корреляционная таблица. В корреляционной таблице можно отобразить только парную связь, т. е. связь результативного признака только с одним фактором, и на её основе построить уравнение регрессии и определить показатель тесноты связи.

Для составления корреляционной таблицы парной связи статистические данные необходимо сгруппировать по обоим признакам, затем построить таблицу, по строкам отложить группы результативного, а по столбцам - группы факторного признака.

Таблица 12

Среднесписочная численность рабочих	x y	Среднегодовая стоимость основных фондов
		179,6-429,83	429,83-680,06	680,06-930,3
		298,62	528,77	846,2
165-360,67	231,7	9	1	-	10		2317		691902,5
360,67-556,33	485,3	4	2	-	6		2911,8		1539673
556,33-752	640,2	-	4	5	9		5761,8		4875635,2
		13	7	5	25
		3882,06	3701,39	4231
		1159260,76	1957183,99	3580272,2

Корреляционная таблица даёт общее представление о направлении связи. В нашем случае связь прямая.

Для определения коэффициентов уравнения воспользуемся системой нормальных уравнений вида:

Уравнение регрессии имеет вид: