Бинарные представления сильноветвящихся деревьев

Любое упорядоченное дерево можно представить в виде эквивалентного ему бинарного дерева, поэтому известны бинарные представления как для 2-3 дерева, так и для 2-3-4 дерева. Бинарное представление 2-3-4 деревьев получило название красно-черных деревьев. Наиболее полное описание красно-черных деревьев содержится в [10].

5.5.3. Рандомизированные деревья поиска

Рассмотренные выше сбалансированные деревья гарантированно обеспечивают логарифмическую сложность выполнения основных операций. Существует довольно простая реализация бинарного дерева поиска, которая не гарантирует полное исключение длинных путей, но делает вероятность их появления ничтожно малой. Это так называемые рандомизированные или случайные деревья поиска.

Доказано [8, 10], что если при построении дерева исходные данные будут поступать в случайном порядке (т. е. равновероятны все n! перестановок исходных данных), то средняя высота такого дерева будет пропорциональна log n. Считаем, что все ключи уникальны.

На практике далеко не во всех случаях имеется возможность при построении дерева подавать исходные данные на вход алгоритма в случайном порядке. Но есть возможность встроить случайность в сам алгоритм построения дерева. Для этого в реализации обычных бинарных деревьев поиска необходимо изменить алгоритм вставки, отказавшись от самого простого способа вставки нового узла в качестве листа. Теперь новый элемент вставляется как корень одного из поддеревьев, причем вставка в любое поддерево равновероятна и управляет этим процессом датчик случайных чисел.

Таким образом, основой для построения рандомизированного дерева поиска является алгоритм вставки нового элемента в корень дерева, о котором уже упоминалось. Понятно, что мы не можем сделать добавляемый элемент новым корнем, просто подвесив к нему старое дерево в качестве левого или правого поддерева. Легко проверить, что в этом случае упорядоченность дерева нарушится и восстановить ее будет не очень-то просто. Поэтому поступают по-другому— сначала вставляют новый элемент в качестве листа, а потом с помощью уже известных нам вращений (малых — левого и правого) последовательно продвигают его к корню. Наиболее просто реализуется рекурсивный алгоритм вставки в корень, который отличается от обычного алгоритма вставки в качестве листа только тем, что после каждого рекурсивного вызова вставки в левое или правое поддерево вызывается соответствующая функция вращения.

Вставка нового узла в рандомизированное дерево поиска выполняется так. Начиная с корня дерева, движемся по пути поиска, как при вставке в обычное бинарное дерево поиска. При посещении каждого узла датчик случайных чисел формирует очередное случайное число. Считаем, что вероятность вставки нового элемента в корень поддерева равна 1/(n+1), где n — число узлов этого поддерева. Диапазон изменения случайного числа подбирается так, чтобы обеспечить именно такую вероятность вставки в данное поддерево. Если случайное число примет определенное значение, движение по пути поиска прерывается, после чего вызывается функция вставки в корень.

Конечно, данный алгоритм не гарантирует, что после каждой вставки дерево будет сбалансированным, поскольку балансы узлов не проверяются (вместо балансов узлов в каждом узле хранится количество его потомков, чтобы правильно определить вероятность вставки в этот узел). Однако при достаточно большом количестве узлов рандомизированное дерево немногим уступает рассмотренным выше сбалансированным деревьям.

Сложность алгоритма вставки в рандомизированное дерево поиска по-прежнему логарифмическая, поскольку выполняется все то же передвижение по пути поиска сначала в прямом, а затем в обратном направлении.

#include <iostream.h>

#include <stdlib.h>

#include <time.h>

typedef int T_key; //тип ключа, может быть любым

typedef char T_data;//тип связанных данных, любой

struct item //структура элемента массива

{ T_key key; //ключ

T_data data; //связанные данные

};

struct node

{item data;

int n;

node *left, *right;

node(item x)

{data=x;left=right=NULL;}

};

typedef node* bst; //bst - binary seach tree

//малое правое вращение

void RightRotate(bst &root)

{ bst x;

x=root->left; root->left=x->right; x->right=root; root=x;

}

//малое левое вращение

void LeftRotate(bst &root)

{ bst x;

x=root->right; root->right=x->left; x->left=root; root=x;

}

// вставка в корень

void insert_root(bst &root, item x)

{ if (!root)// дерео пустое- терминальная ветвь

{ root=new node(x); root->n=1;

return;

}

if (x.key<root->data.key)

{ insert_root(root->left,x);

RightRotate(root); }

else

{ insert_root(root->right,x);

LeftRotate(root); }

}

// рекурсивная функция вставки

void insert_rec(bst &root, item x)

{ if (!root)// дерео пустое- терминальная ветвь

{ root=new node(x); root->n=1;

return;

}

if (rand()<RAND_MAX/(root->n+1))

{ insert_root(root,x);

return;

}

if (x.key<root->data.key) insert_rec(root->left,x);

else insert_rec(root->right,x);

root->n++;

return;

}

// формирование дерева из n случайных элементов

void randtree(bst &root, int n)

{ item x;

for (int i=0;i<n; i++)

{ x.key=rand()%1000;

x.data=rand()%26+65;

insert_rec(root,x);

}

}