3.6.3. Пример — построение дерева турнира

В качестве первого примера построения бинарного дерева представлена функция для построения так называемого «дерева турнира» (функция называется contest). Данная функция является рекурсивной и использует базовые функции для работы с бинарным деревом.

Сначала поясним, что представляет собой дерево турнира [Сэнджвик]. Это бинарное дерево, в котором вся полезная информация содержится в листьях, а каждый внутренний узел — это копия наибольшего из его сыновей. Следовательно, корень такого дерева — копия наибольшего из значений листьев. Поэтому дерево турнира может быть использовано, например, для определения максимального значения в последовательности (при этом используется термин «разыграть турнир», очевидно, по аналогии с турниром по теннису, где после каждой игры проигравший выбывает). К сожалению, такой способ определения максимального элемента не эффективнее, чем обычный способ с использованием цикла. Это понятно — для того, чтобы найти наибольший из n элементов, нужно убедиться, что все остальные (n-1) элементов его меньше, для чего требуется выполнить (n-1) сравнений.

Один из способов сортировки данных, называемый турнирной сортировкой, также основан на явном построении дерева турнира. Турнирная сортировка несколько проигрывает по эффективности самым быстрым методам сортировки (см. следующую главу). Тем не менее, построение дерева турнира — хорошая тренировка в реализации бинарных деревьев.

Листинг 3.1. Построение дерева турнира

#include <iostream.h>

#include “bintree.h” // файл с определением АТД bintree (bt)

// рекурсивная функция построения дерева турнира

// low и high – индексы начала и конца части массива,

// для которой разыгрывается турнир

bt contest(int *c, int low, int high)

{ bt l,r; int m;

if (low==high)// терминальная ветвь – остался один элемент

return consbt(c[low],NULL,NULL);// листья-элементы массива

m=(low+high)/2; // находим середину части массива

// затем разыгрываем турнир для левой и правой половин

l=contest(c,low,m); r=contest(c,m+1,high);

// внутренние узлы - копия наибольшего из двух детей

if (root(l)>root(r))return consbt(root(l),l,r);

else return consbt(root(r),l,r);

}

// Например, разыграем турнир для массива из 10 элементов

int main()

{ int c[10]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};

out(contest(c,0,9)); return 0;

}

На рис. 3.11 изображено дерево турнира для массива из 10 элементов, который используется в программе в качестве примера. Программа выводит дерево в левом скобочном представлении, но нетрудно написать функциюдля вывода дерева в виде двухмерного рисунка.

Рис.3.11. Дерево турнира, построенное программой из листинга 3.10.

Обратим внимание, что для вывода дерева на экран в том или ином виде необходимо пройти все его узлы в определенном порядке. Здесь мы вплотную приблизились к понятию обхода дерева. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

3.7. Обходы бинарных деревьев и леса

3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов

Многие алгоритмы работы с бинарными деревьями основаны на последовательной обработке узлов дерева. Если для линейного списка последовательность обработки очевидна (в однонаправленных списках только в прямом, в двунаправленных — в прямом и обратном направлении), то в бинарном дереве имеется гораздо больше возможностей из-зи наличия ветвления. В связи с этим вводится понятие обхода дерева. При обходе дерева каждый узел посещается только один раз, при этом узлы выстраиваются в определённую линейную последовательность узлов, т.е. можно говорить о предыдущем и следующем узле.

Понятие обхода вводится для любых деревьев, однако удобнее начать с обхода бинарных деревьев.

Наиболее известны и практически важны 3 способа прохождения, которые отличаются порядком и направлением обхода бинарного дерева. К сожалению, в литературе встречается довольно много различных названий для данных обходов, что порождает некоторую путаницу. В таблице 3.4 приведены основные названия (верхняя строка) и алгоритмы рекурсивного прохождения узлов дерева для каждого способа (нижняя строка).

 Таблица 3.4.

Рекурсивное прохождение бинарного дерева.

Прямой порядок, сверху вниз (в глубину), нисходящий, preorder (префиксный)	Центрированный, симметричный, слева направо, поперечный, inorder (инфиксный)	Концевой порядок, обратный, снизу вверх, восходящий, postorder(постфиксный)
Алгоритм КЛП (корень-левое-правое), Попасть в корень Пройти левое поддерево Пройти правое поддерево	Алгоритм ЛКП (левое-корень-правое) Пройти левое поддерево Попасть в корень Пройти правое поддерево	Алгоритм ЛПК (левое-правое-корень) Пройти левое поддерево Пройти правое поддерево Попасть в корень

Прямой порядок прохождения означает обход в направлении сверху-вниз, когда после посещения очередного разветвления продолжается прохождение вглубь дерева, пока не пройдены все потомки достигнутого узла. По этой причине прямой порядок прохождения часто называют нисходящим, или прохождением в глубину. Прямой порядок используется в представлении дерева в форме вложенных скобок (левое скобочное представление), в виде уступчатого списка или десятичной классификации Дьюи. В генеалогических терминах прямой порядок прохождения дерева отражает династический порядок престолонаследования, когда титул передается старшему потомку.

При центрированном (симметричном) порядке дерево проходится слева направо. Такой порядок используется, например, при обходе бинарного дерева поиска, порождая упорядоченную последовательность значений. Подробнее об этом будет рассказано в главах, посвященных сортировке и поиску.

Если применяется концевой порядок прохождения, то получается обход дерева снизу-вверх, когда в момент посещения любого узла все его потомки уже пройдены, а корень дерева проходится последним. Из-за этой особенности обхода, концевой порядок называют восходящим, или обратным относительно прямого.

Иногда используется еще один способ обхода  в горизонтальном порядке (в ширину). При таком способе узлы бинарного дерева проходятся слева направо, уровень за уровнем, от корня вниз (поколение за поколением от старших к младшим).

Таблица 3.5.

Прохождение узлов дерева при различных порядках обхода

	Порядок обхода	Очередность обработки узлов
	1. Прямой (КЛП)	a b d e g c f
	2.Центрированный (ЛКП)	d b g e a c f
	3.Обратный (ЛПК)	d g e b f c a
	4. В ширину	a b c d e f g

Например, построенное ранее бинарное дерево, изображеннное на рис. 3.10,а (для удобства мы его перерисуем снова) можно обойти различными способами так, как показано в табл.3.5