3.5. Соответствие между упорядоченным лесом, бинарным деревом и иерархическим списком

Как видно из предыдущего изложения, несмотря на видимые различия, иерархические структуры имеют много общего. Рассмотрим этот вопрос подробнее, проанализировав соответствие и возможности преобразования между данными структурами.

3.5.1. Каноническое соответствие между бинарным деревом и упорядоченным лесом

Справедливо следующее утверждение:

существует однозначное соответствие между бинарным деревом и упорядоченным лесом.

Другими словами, для каждого упорядоченного леса можно построить эквивалентное ему бинарное дерево, а, выполнив обратные преобразования для бинарного дерева, можно снова получить тот же самый упорядоченный лес.

Будем считать, что упорядоченный лес задан своим графическим представлением, например, на рис.3.9,а изображен упорядоченный лес из двух деревьев. Для перехода от упорядоченного леса к соответствующему ему бинарному дереву воспользуемся следующим алгоритмом:

• разорвем все связи между узлами, оставив для каждого только крайнюю левую связь — от узла к его левому сыну, если он есть;

• проведем правую связь от каждого узла к его правому брату, если он есть.

Таким образом, каждый узел имеет теперь не более двух связей — правую и левую, причем любая из них может отсутствовать.. Такое представление леса называется «левый сын»-«правый брат» [3] и ему соответствует бинарное дерево, изображенное на рис.3.9, б.

а)упорядоченный лес из двух деревьев б)соответствующее бинарное дерево

в) привычное изображение бинарного дерева

Рис.3.9. Соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом.

Немного развернув рисунок, получим привычное изображение бинарного дерева (рис.3.9,в)

Полученное бинарное дерево также можно снова превратить в лес, выполнив обратные преобразования для каждого узла, т. е. развернув рисунок в обратном направлении и превратив правого сына каждого узла в правого брата этого узла путем изменения связей.

Поскольку алгоритмы и прямого, и обратного перехода включают действия, которые можно выполнить только единственным образом, можно говорить об однозначном соответствии между упорядоченным лесом и эквивалентным ему бинарным деревом. Такое соответствие иначе называется естественным или каноническим [8,10].

Аналогично упорядоченному лесу, для каждого упорядоченного дерева можно построить эквивалентное ему бинарное дерево, и при необходимости выполнить обратные преобразования. В полученном бинарном дереве будет отсутствовать правое поддерево, поскольку у корня дерева нет братьев. Например, если из бинарного дерева на рисунке 3.9,в удалить правое поддерево, то получим бинарное представление первого дерева леса из рисунка 3.9,а.

3.5.2. Взаимосвязь бинарных деревьев и иерархических списков

Каноническое соответствие между упорядоченным лесом и бинарным деревом можно обосновать более формально, используя введенную ранее функциональную спецификацию иерархических списков и деревьев. Пусть лес F задан как список деревьев T_i(i=1,2,...,m):

F = (Т1,Т2,...,Тm).

Считая F особым видом иерархического списка, представим его в виде пары «голова-хвост». Тогда голова Head(F)  первое дерево Т₁  леса F, а хвост Tail(F) — лес остальных деревьев (Т₂ ... Т_m). Если в дереве T₁=Head(F) выделить корень и лес поддеревьев, то исходный лес F представляется как совокупность трех частей:

• корень первого дерева упорядоченного леса Root(Head(F)),

• лес поддеревьев этого первого дерева Listing(Head(F)),

• оставшаяся часть исходного леса без первого дерева Tail(F).

Из этих трех частей рекурсивно порождается бинарное дерево B(F), представляющее лес F:

B(F) = если IsNull(F) то 

иначе ConsBT(Root(Head(F)),

B(Listing(Head(F))),

B(Tail(F)))

Согласно этому определению, у бинарного дерева B(F) корнем является корень первого дерева Т₁ в лесу F, левым поддеревом является бинарное дерево, представляющее лес поддеревьев первого дерева Т₁, а правым поддеревом является бинарное дерево, представляющее лес остальных (кроме первого) деревьев исходного леса F.

Ранее та же структура бинарного дерева была получена с помощью представления «левый сын» — «правый брат».

Приведенные рассуждения еще раз подтверждают общность иерархических списков, деревьев и бинарных деревьев и приводят к выводу — любое упорядоченное дерево (лес) можно реализовать либо в виде иерархического списка (S-выражения), либо бинарного дерева.

При использовании императивных языков (таких как С++ или Pascal) более эффективной является реализация бинарных деревьев. Отметим, что многие задачи (сортировка, поиск, сжатие данных и т. п.) сами по себе предполагают использование бинарных деревьев. В связи с этим внимательно отнесемся к реализации бинарных деревьев.