- •Введение
- •Основные понятия и определения
- •1.1. Типы данных
- •1.1.1. Понятие типа данных
- •1.1.2. Внутреннее представление базовых типов в оперативной памяти
- •1.1.3. Внутреннее представление структурированных типов данных
- •1.1.4. Статическое и динамическое выделение памяти
- •1.2. Абстрактные типы данных (атд)
- •1.2.1. Понятие атд
- •1.2.2. Спецификация и реализация атд
- •1.3. Структуры данных
- •1.3.1. Понятие структуры данных
- •1.3.2. Структуры хранения — непрерывная и ссылочная
- •1.3.3. Классификация структур данных
- •1.4. Понятие алгоритма
- •1.5. Введение в анализ алгоритмов
- •1.5.1. Вычислительные модели
- •1.5.2. Показатели эффективности алгоритма
- •1.5.3. Постановка задачи анализа алгоритмов
- •1.5.4. Время работы алгоритма
- •Время выполнения в худшем и среднем случае
- •1.5.5. Асимптотические оценки сложности алгоритмов
- •Точная асимптотическая оценка θ
- •Верхняя асимптотическая оценка о
- •Нижняя асимптотическая оценка ω
- •Наиболее часто встречающиеся асимптотические оценки
- •1.6. Анализ рекурсивных алгоритмов
- •1.6.1. Рекурсия и итерация
- •1.6.2. Пример анализа рекурсивного алгоритма
- •1.7. Первые примеры
- •1.7.1. Введение в «длинную» арифметику
- •1.7.2. Примеры рекурсивных алгоритмов
- •1.7.3. Поразрядные операции. Реализация атд «Множество»
- •2. Линейные структуры данных
- •2.1. Атд "Стек", "Очередь", "Дек"
- •2.1.1. Функциональная спецификация стека
- •2.1.2. Функциональная спецификация очереди
- •2.1.3. Деки
- •2.1.4. Общие замечания по реализации атд
- •2.2. Реализация стеков
- •2.2.1. Непрерывная реализация стека с помощью массива
- •2.2.2. Ссылочная реализация стека в динамической памяти
- •2.2.3. Примеры программ с использованием стеков
- •2.3. Реализация очередей
- •2.3.2. Непрерывная реализация очереди с помощью массива
- •2.3.2. Ссылочная реализация очереди в динамической памяти
- •2.3.3. Ссылочная реализация очереди с помощью циклического списка
- •2.3.4. Очереди с приоритетами
- •2.3.5. Пример программы с использованием очереди
- •2.4. Списки как абстрактные типы данных
- •2.4.1. Модель списка с выделенным текущим элементом
- •Операции над списками
- •2.4.2. Однонаправленный список (список л1)
- •2.4.3. Двунаправленный список (список л2)
- •2.4.4. Циклический (кольцевой) список
- •2.5. Реализация списков с выделенным текущим элементом
- •2.5.1. Однонаправленные списки Ссылочная реализация в динамической памяти на основе указателей
- •2.5.2. Двусвязные списки
- •2.5.3. Кольцевые списки
- •2.5.4. Примеры программ, использующих списки Очередь с приоритетами на основе линейного списка
- •2.6. Рекурсивная обработка линейных списков
- •2.6.1. Модель списка при рекурсивном подходе
- •2.6.2. Реализация линейного списка при рекурсивном подходе
- •3. Иерархические структуры данных
- •3.1. Иерархические списки
- •3.1.1 Иерархические списки как атд
- •3.1.2. Реализация иерархических списков
- •3.2. Деревья и леса
- •3.2.1. Определения
- •3.2. Способы представления деревьев
- •3.2.3. Терминология деревьев
- •3.2.4. Упорядоченные деревья и леса. Связь с иерархическими списками
- •3.3. Бинарные деревья
- •3.3.1. Определение. Представления бинарных деревьев
- •3.3.2. Математические свойства и специальные виды бинарных деревьев
- •Вырожденные бинарные деревья
- •Полные бинарные деревья
- •Бинарные деревья минимальной высоты с произвольным числом узлов
- •Почти полные бинарные деревья
- •Идеально сбалансированные бинарные деревья
- •Расширенные бинарные деревья
- •3.4. Деревья как атд
- •Атд «Дерево» и «Лес»
- •Атд «Бинарное дерево»
- •3.5. Соответствие между упорядоченным лесом, бинарным деревом и иерархическим списком
- •3.5.1. Каноническое соответствие между бинарным деревом и упорядоченным лесом
- •3.5.2. Взаимосвязь бинарных деревьев и иерархических списков
- •3.6. Ссылочная реализация бинарных деревьев
- •3.6.1. Ссылочная реализация бинарного дерева на основе указателей
- •3.6.2. Ссылочная реализация на основе массива
- •3.6.3. Пример — построение дерева турнира
- •3.7. Обходы бинарных деревьев и леса
- •3.7.1. Понятие обхода. Виды обходов
- •3.7.2. Пример обходов — дерево-формула
- •3.7.3. Рекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •3.7.3. Нерекурсивные функции обхода бинарных деревьев
- •Прямой порядок обхода (клп)
- •Центрированный порядок обхода (лкп)
- •Обратный порядок обхода (лпк)
- •Обход в ширину
- •3.7.4. Обходы леса
- •3.7.5. Прошитые деревья
- •3.8. Применение деревьев для кодирования информации — деревья Хаффмана
- •3.8.2. Задача сжатия информации. Коды Хаффмана
- •4. Сортировка и родственные задачи
- •4.1. Общие сведения
- •4.1.1. Постановка задачи
- •4.1.2. Характеристики и классификация алгоритмов сортировки
- •4.2. Простые методы сортировки
- •4.2.1. Сортировка выбором
- •4.2.2. Сортировка алгоритмом пузырька
- •4.2.3.Сортировка простыми вставками.
- •4.3. Быстрые способы сортировки, основанные на сравнении
- •4.3.1. Пирамидальная сортировка. Очереди с приоритетами на основе пирамиды
- •Первая фаза сортировки пирамидой
- •Вторая фаза сортировки пирамидой
- •Анализ алгоритма сортировки пирамидой
- •Реализация очереди с приоритетами на базе пирамиды
- •4.3.2. Сортировка слиянием
- •Анализ алгоритма сортировки слиянием
- •4.3.3. Быстрая сортировка Хоара
- •Анализ алгоритма быстрой сортировки
- •4.3.4. Сортировка Шелла
- •4.3.5. Нижняя оценка для алгоритмов сортировки, основанных на сравнениях
- •4.4. Сортировка за линейное время
- •4.4.1. Сортировка подсчетом
- •4.4.2. Распределяющая сортировка от младшего разряда к старшему
- •4.4.3. Распределяющая сортировка от старшего разряда к младшему
- •5. Структуры и алгоритмы для поиска данных
- •5.1. Общие сведения
- •5.1.1. Постановка задачи поиска
- •5.1.2. Структуры для поддержки поиска
- •5.1.3. Соглашения по программному интерфейсу
- •5.2. Последовательный (линейный) поиск
- •5.3. Бинарный поиск в упорядоченном массиве
- •5.4. Бинарные деревья поиска
- •5.4.1. Анализ алгоритмов поиска, вставки и удаления Поиск
- •Вставка
- •Удаление
- •5.4.3. Реализация бинарного дерева поиска
- •5.5. Сбалансированные деревья
- •Определение и свойства авл-деревьев
- •Вращения
- •Алгоритмы вставки и удаления
- •Реализация рекурсивного алгоритма вставки в авл-дерево
- •5.5.2. Сильноветвящиеся деревья
- •Бинарные представления сильноветвящихся деревьев
- •5.5.3. Рандомизированные деревья поиска
- •5.6. Структуры данных, основанные на хеш-таблицах
- •5.6.2. Выбор хеш-функций и оценка их эффективности
- •Модульное хеширование (метод деления)
- •Мультипликативный метод
- •Метод середины квадрата
- •5.6.2. Метод цепочек
- •5.6.3. Хеширование с открытой адресацией
- •5.6.4. Пример решения задачи поиска с использованием хеш-таблицы
1.1.2. Внутреннее представление базовых типов в оперативной памяти
В состав базовых типов данных любого языка программирования включаются такие типы, операции над значениями которых эффективно поддерживаются архитектурой компьютера.
В современных компьютерах имеется две основных формы представления данных:
с фиксированной точкой (в русском переводе иногда употребляют термин "с фиксированной запятой", т. к. речь идет о разделителе, отделяющем целую часть числа от дробной части);
с плавающей точкой (запятой).
Первый способ употребляется для хранения целых чисел, символов и логических значений. По этой причине в языках C/C++ все перечисленные типы данных относятся к целочисленным. Второй способ используется для хранения вещественных чисел либо целых чисел, имеющих очень широкий диапазон значений. Примерно такой набор базовых типов имеется во всех языках.
В представлении с фиксированной точкой целое число хранится в двоичной системе счисления, занимая столько байт памяти, сколько определено в конкретном компиляторе для его типа.
Например:
целое число 19 в двоичной форме с фиксированной точкой будет записано как 10011 (разложение по степеням двойки: 19=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20). Один крайний бит отводится под знак числа (для положительного числа 0, для отрицательного 1), остальные незанятые биты заполняются нулями.
Представление с плавающей точкой в различных компьютерных архитектурах может быть реализовано по-разному, но в любом случае число рассматривается как произведение двух сомножителей, один из которых представляет собой число 2 в целой степени. Степень двойки определяет порядок числа, а первый из сомножителей определяет значащие цифры числа и называется мантиссой.
Например: вещественное число 15,375 в двоичной форме с плавающей запятой можно представить как 1,111011×211, где 1,111011 — мантисса, 11 — порядок (запись в двоичной форме).
В ячейке памяти, отводимой под число с плавающей точкой, находится два значения — мантисса и порядок.
Рассмотрим следствия, которые вытекают из рассмотренных способов хранения данных.
Целочисленные типы в языке программирования — это интервал целых чисел. Операции над целыми числами определены лишь тогда, когда исходные данные и результат лежат в этом интервале. Иначе возникает ситуация, называемая переполнением. При целочисленном переполнении, как правило, не возникает ошибка выполнения программы, однако результат становится неверным. За исключением переполнения все операции над аргументами с фиксированной точкой выполняются точно (без погрешности).
Все операции над данными с фиксированной точкой выполняются быстрее, чем над данными с плавающей точкой. В последнем случае значительное время тратится на операции выравнивания порядков (для возможности выполнения операции операнды должны иметь один и тот же порядок). В современных архитектурах компьютеров благодаря мощной аппаратной поддержке операций с плавающей точкой они выполняются уже не намного медленней, чем операции с фиксированной точкой.
Вещественные числа, как и целые, представляются конечным множеством значений (хотя количество различных значений вещественных чисел так велико, что может показаться бесконечным).
Каждое вещественное число будет иметь приблизительно одинаковое количество значащих цифр в его представлении, т. к. под мантиссу отводится фиксированное количество байтов. Как следствие этого, ошибка для очень больших чисел будет больше по абсолютной величине.
Вещественные числа всегда представлены с некоторой погрешностью. Все операции над вещественными числами также выполняются с погрешностью. Поэтому нельзя сравнивать на равенство/неравенство вещественные числа обычным способом. Вместо этого можно сравнить модуль разности этих чисел с какой-нибудь достаточно малой величиной.
Следует быть осторожным при выполнении операций между числами, порядки которых сильно отличаются, например, между очень большими и очень маленькими числами. Возможны ситуации, когда мантисса не сможет обеспечить требуемую точность. Например, при сложении чисел 10000000 и 0.00000001 типа float языка C разрядности мантиссы не хватит, чтобы представить число 10000000.00000001, и результат останется равным 10000000.
Замечание
Для уменьшения влияния ошибки округления при выполнении арифметических операций с вещественными числами необходимо иметь в виду следующее. Если складывается много чисел, то их необходимо разбить на группы чисел, близких по абсолютному значению, произвести суммирование в группах, начиная с меньшего числа, после чего полученные суммы сложить, опять-таки начиная с меньшей. Таким образом, при работе с вещественными числами при перестановке мест слагаемых сумма может измениться, и иногда значительно. Похожие рекомендации можно дать и для других арифметических операций.