1.4. Символи Шубнікова
Символи Шубнікова займають проміжне положення між символами Шенфліса і символами Германа - Могена. По виду вони скоріше схожі на останні, але за змістом ближче до символів Шенфліса. Так само, як і в символах Германа - Могена, осі позначаються арабськими цифрами, а площину - символом m. Однак для позначення осі обертання невласного вибирається дзеркальна вісь, а не інверсійна, як в міжнародному символі. Дзеркальна вісь позначається арабською цифрою із позначкою тильди: дзеркальна вісь 2-го порядку (Те ж, що і центр інверсії 1 ), Дзеркальна вісь 4-го порядку (Вона ж інверсійна вісь четвертого порядку 4 ) І дзеркальна вісь 6-го порядку (Еквівалентна інверсійної осі третього порядку 3 ). Так само, як і в символах Шенфліса, позначаються тільки породжують елементи симетрії. Наприклад, шубніковскій символ 4: 2, так само як і D 4 у Шенфліса, позначає, що група утворена віссю 4-го порядку і перпендикулярної до неї віссю 2-го порядку, в той час як міжнародний символ 422 вказує також на наявність у групі симетрично нееквівалентних осей другого порядку. Напрямок побічних осей і площин вказується через знак: якщо вони перпендикулярні головної осі, - якщо паралельні головній осі і / - якщо похило по відношенню до головної осі. Слід звернути увагу на позначення груп і . Так само, як і у відповідних міжнародних символах 4 2m і 3 m, в них позначаються осі невласного обертання, тоді як в символах Шенфліса D 2d і D 3d позначаються тільки поворотні осі, що входять до складу осей невласного обертання (вісь 2 входить в і вісь 3 входить в ).
1.5. Орбіфолдное позначення
Орбіфолдное позначення було запропоновано Вільямом Терстон і популяризувати Джоном Конвея. [1] [2] В принципі, воно було введено для опису груп симетрії на двомірних поверхнях постійної кривизни (наприклад, 17 двомірних кристалографічних груп на площині, групи симетрії на гіперболічної площині, групи симетрії на сфері), але оскільки групи симетрії на сфері еквівалентні тривимірним точковим групам, ці позначення можна використовувати і для останніх. Тут пояснюється сенс орбіфолдних позначень при описі точкових груп.
Як і в міжнародній системі, наявність осей симетрії позначається арабськими цифрами, і в обох позначеннях вказуються не тільки породжують елементи, а й симетрично нееквівалентні. Тут, однак, є невелика відмінність - в орбіфолдной системі позначаються не просто нееквівалентні осі симетрії, а нееквівалентні напряму. У всякої осі є два напрями ("верх і низ" для вертикальної або "ліво і право" для горизонтальної). Наприклад, у групах з єдиною віссю (C n по Шенфліса) ці напрями нееквівалентний, тому такі групи позначаються як nn. До кристаллографическим належать групи 11, 22, 33, 44 і 66. У групах з осями 2-го порядку, перпендикулярними головної осі (D n по Шенфліса), осі 2-го порядку "перевертають" головну вісь на 180 градусів, роблячи таким чином обидва її напрями еквівалентними. Проте самих напрямків 2-го порядку в таких групах два типу, тому групи позначаються як n22. Порядок цифр не важливий, важливо лише їх положення по відношенню до символу площини симетрії (якщо вона присутня в групі), про що буде написано нижче. Кристалографічними будуть групи 222, 322, 422 і 622 (можна писати і 222, 223, 224 і 226). Цікаво порівняти ці символи з відповідними міжнародними 222, 32, 422 і 622. У групах з головною віссю парного порядку присутній два класи симетрично нееквівалентих горизонтальних осей 2-го порядку (тому дві двійки в міжнародному символі), але в кожної з осей обидва напрямки еквівалентні. У групах з головною віссю непарного порядку, всі осі 2-го порядку еквівалентні (тому міжнародний символ 32, а не 322), але "ліве" і "праве" напрямку у цих горизонтальних осей різні, тому все одно отримуємо два класи симетрично нееквівалентних напрямків 2-го порядку, і в орбіфолдном позначенні виходить 322 (522, 722 та т.д.).
Наявність в групі однієї або декількох площин симетрії позначається єдиною зірочкою *. При цьому якщо символ осі розташований правіше зірочки, то значить через вісь проходять площині симетрії (n площин через вісь n-го порядку), якщо цифра розташована лівіше зірочки, то площині через вісь не проходять. Наприклад, у групі * 332 (T d по Шенфліса), через всі осі проходять площині, а в групі 3 * 2 (T h по Шенфліса) площині проходять тільки через осі 2-го порядку, але не через осі 3-го.
Ще кілька прикладів:
У групах з площиною симетрії, перпендикулярній головної осі симетрії (C nh по Шенфліса), обидва напрями осі стають еквівалентними і групи позначаються символом n *. Кристалографічними будуть групи 2 *, 3 *, 4 * і 6 *. Якщо ж площину симетрії проходить через вісь (C nv по Шенфліса), то, як було сказано вище, зірочка ставиться лівіше цифри, і отримуємо групи * 22, * 33, * 44, * 66. Цифри знову подвоюються, так як напряму головної осі ("верх і низ") знову нееквівалентний.
Не тільки площині симетрії можуть переводити частини фігури (фрагменти мотиву) в дзеркально їм симетричні. Наприклад, до таких елементів відносяться дзеркальні та інверсійні осі. Для двовимірних кристалографічних груп на площині таким елементом є ковзне відображення (тобто відображення з одночасним зсувом уздовж лінії відображення). Наявність в групі такого елемента позначається x ("чудо" по конвою). Цей значок використовується тільки у випадку, якщо дія елемента ніяк не можна уявити у вигляді комбінації інших елементів з символу групи. Що стосується 3-мірних точкових груп, це відноситься до груп, що складається з єдиної дзеркальної осі парного порядку, S 2 = C i, S 4 і S 6. Вони будуть позначатися 1x, 2x і 3x, відповідно.