Кристалографічна точкова група симетрії

План:

Введення

• 1 Позначення

  • 1.1 Символіка Браве

  • 1.2 Символ Шенфліса

  • 1.3 Символіка Германа - Могена (міжнародна символіка)

  • 1.4 Символи Шубнікова

  • 1.5 Орбіфолдное позначення

• 2 Порівняння різних позначень точкових груп

• 3 Історія Література

Введення

Кристалографічна точкова група симетрії - це точкова група симетрії, яка описує макро симетрію кристала. Оскільки в кристалах припустимі осі (поворотні і невласного обертання) тільки 1, 2, 3, 4 і 6 порядків, з усього нескінченного числа точкових груп симетрії тільки 32 відносяться до кристаллографическим.

1. Позначення

1.1. Символіка Браве

В основному використовується в навчальних цілях і зводиться до перерахування всіх елементів точкової групи. Поворотні осі симетрії позначаються буквою L з нижнім цифровим індексом n, відповідним порядком осі ( L _n ) - L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ і L ₆ . Інверсійні осі (комбінація повороту з інверсією) позначаються літерою Ł з нижнім цифровим індексом n, відповідним порядком осі (Ł _n) - Ł _2, Ł _3, Ł ₄ і Ł _6. Інверсійна вісь першого порядку (центр інверсії) позначається символом C. Інверсійна вісь другого порядку є просто площину симетрії і звичайно позначається символом P. Для уточнення орієнтації площині щодо головної осі можуть використовуватися різні індекси, наприклад, | | і ⊥. Наприклад, символ L ₂ P _⊥ C позначає групу складається з осі другого порядку і перпендикулярної до неї площини (і, як наслідок їх взаємодії, центру інверсії), а символ L _{2 лютого} P _{| |} - групу складається з осі другого порядку і двох паралельних їй площин (хоча у випадку тільки паралельних площин символ | | зазвичай опускають і буде L ₂ 2 P). Символ L ₄ 4 L ₄ лютого P _{| |} P _⊥ C позначає групу, що складається з осі четвертого порядку, чотирьох перпендикулярних до неї осей другого порядку, чотирьох паралельних їй площин, однією перпендикулярній площині та центру інверсії.

1.2. Символ Шенфліса

Символіка Шенфліса заснована на класифікації точкових груп за домами і широко використовується для позначення взагалі всіх точкових груп, а не тільки кристалографічних.

Сімейство груп з єдиною поворотною віссю позначається латинською буквою C з індексом, які показують порядок осі. До кристаллографическим відносяться C _1, C _2, C _3, C ₄ і C _6.

Додавання горизонтальній площині до груп C _n позначається додатковим індексом h. Отримуємо групи C _2h, C _3h, C _4h і C _6h.

Додавання вертикальних площин до груп C _n позначається додатковим індексом v. Групи C _2v, C _3v, C _4v і C _6v.

Оскільки в групі C ₁ не існує особливих напрямів, додана площину не може характеризуватися як вертикальна або горизонтальна. Така площину позначається індексом s. Таким чином, символ групи складається з однієї площини симетрії - C _s ( ньому. spiegel - Дзеркало).

Групи з осями другого порядку, перпендикулярним головної осі позначаються буквою D з індексом, що показує порядок головною поворотної осі. До кристаллографическим відносяться D _2, D _3, D ₄ і D _6.

Додавання горизонтальній площині до груп D _n позначається, так само, як і у випадку З _n, додатковим індексом h. Групи - D _2h, D _3h, D _4h і D _6h.

Додавання вертикальних площин до груп D _n неоднозначно, так як площини можуть розташовуватися як між горизонтальних осей другого порядку, так і збігатися з ними. У першому випадку додається індекс d, що позначає діагональне розташування площин (по діагоналі між напрямками осей другого порядку). Виходять кристалографічні групи D _2d і D _3d. У групах D _nd взаємодія горизонтальних осей другого порядку і вертикальних дзеркальних площин призводить до виникнення дзеркальної осі порядку 2n. Тому групи D _4d і D _6d не є кристалографічними, оскільки містять дзеркальні осі порядків 8 і 12, відповідно. Додавання до груп D _n вертикальних площин вздовж осей другого порядку породжує горизонтальну площину симетрії і виходять описані вище групи D _nh

Групи, що складаються з однієї дзеркальної осі, позначаються символом S _n. При непарному n дзеркальна вісь еквівалентна наявності поворотної осі порядку n і перпендикулярної до неї площини, тобто групі C _nh, тому в групах S _n індекс n завжди парний. До них відносяться S ₂ (група, що складається тільки з центру інверсії), S ₄ і S _6. Будь дзеркальна вісь може описуватися також, як і інверсійна вісь, тому можливо альтернативне позначення цих груп - C _ni, де n - порядок інверсійної осі. Виходять C _i = S _2, C _4i = S ₄ і C _3i = S _6.

Кристалографічні точкові групи, в яких присутні кілька осей вищого порядку (тобто порядку більше двох), позначаються символами T або О, в залежності від присутніх в них поворотних осей. Додаткові індекси h і d вказують на наявність горизонтальних (і вертикальних) і діагональних площин симетрії. Якщо в групі присутні тільки поворотні осі 2 і 3 порядків, то група позначається символом T (так як така комбінація поворотних осей присутній в тетраедра). Якщо в групі присутні тільки поворотні осі 2, 3 і 4 порядків, то група позначається символом O (так як така комбінація поворотних осей присутній в октаедра). Додавання горизонтальних площин симетрії призводить до груп T _h і O _h (група симетрії куба і октаедра). В обох групах присутні як горизонтальні площини, так і вертикальні. Додавання діагональних площин до групи T, призводить до групи T _d (група симетрії тетраедра). Група O _d не існує, так як додавання діагональних площин до групи O призведе до граничної групі симетрії кулі, содержаший всі можливі повороти і віддзеркалення.

Позначення Шенфліса використовуються в теорії груп, фізики і кристалографії. У символіці Шенфліса використовуються тільки породжують елементи симетрії (тобто з яких можна вивести всі інші елементи симетрії групи). Позначення інваріантні щодо вибору системи координат, що одночасно є як достоїнством, коли нас просто цікавить симетрія системи, так і недоліком, у разі якщо важлива орієнтація елементів симетрії точкової групи по відношенню до інших об'єктів, наприклад, системі координат кристала, або по відношенню до осей решітки Браве просторової групи. Тому в кристалографії частіше використовуються символи Германа-Могена, особливо для опису просторових груп.