Основные этапы практической реализации
Как было отмечено ранее, согласно МКЭ, модель конструкции сложной формы подразделяется на более мелкие части (конечные элементы) сравнительно простой формы, в пределах которых ищется приближенное решение. Результатом такого моделирования обычно является поле напряжений и смещений в целой конструкции.
Таким образом, решение задачи с применением МКЭ состоит из следующих основных этапов (Рисунок 1):
Рисунок 1 – Этапы решения задач с применением МКЭ
1) идентификация задачи, присвоение ей имени; создание чертежа конструкции и нагрузок; 2) создание геометрии модели, пригодной для МКЭ; 3) разбиение модели на сетку конечных элементов; 4) приложение к модели граничных условий (закрепление на границе или граничные нагрузки); 5) численное решение системы уравнений (автоматически); 6) анализ результатов.
Этапы 1, 2, 3, 4 относятся к препроцессорной стадии, этап 5 – к процессорной стадии, этап 6 – к постпроцессорной стадии.
Построенная модель делится на конечные элементы достаточно простой формы. Имеются несколько типичных форм конечных элементов, в которых поле смещений определяется по смещениям узлов с помощью некоторых интерполяционных функций. По вычисленным таким образом смещениям определяются поля напряжений и деформаций.
Наиболее трудоемкий этап решения задач с помощью МКЭ — это создание конечно-элементной модели на стадии препроцеcсорной подготовки (preprocessor), т. к. автоматическое построение сетки элементов не гарантирует от появления ошибок. Правильное приложение нагрузок и граничных условий также представляет определенные трудности.
Пятый из перечисленных выше этапов (численное решение системы уравнений) выполняется автоматически и, как правило, особых трудностей не вызывает (за исключением систем с плохо обусловленной матрицей жесткости).
Шестой этап (анализ результатов) существенно облегчается имеющимися мощными инструментальными средствами визуализации результатов.
Рисунок 2 – Разбивка конструкции на КЭ
Учитывая то, что в конечно-элементных задачах неизвестными являются перемещения в узлах, а также то, что в трехмерных задачах каждый узел тетрагонального элемента может иметь перемещения по трем направлениям (Рисунок 2), система уравнений равновесия, записанная в матричной форме, может иметь размерность, достигающую 100000 и более. Однако для современных ЭВМ решение таких систем уравнений – вполне посильная задача. При составлении уравнений равновесия учитывается, что сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей равна нулю, а сумма внутренних сил равна внешней силе с обратным знаком.
В трехмерных моделях число узлов обычно больше числа элементов, а число степеней свободы в 3 раза больше числа узлов (за исключением числа кинематических граничных условий).
Матрица жесткости [К] связывает векторы узловых смещений {U} и нагрузок {Р}.
Матрица жесткости является симметричной диагональной матрицей, что существенно облегчает ее обработку.
Конечные элементы
Как следует из основной концепции МКЭ, вся модель конструкции (или отдельной ее части) делится на множество конечных элементов, соединенных между собой в вершинах (узлах) (Рисунок 3). Силы действуют в узлах. Конечный элемент не является «абсолютно жестким» телом.
Рисунок 3 – Конечные элементы
Конечно-элементная модель предполагает, что напряжения и деформации имеются и вне данного конечного элемента. Имеются несколько наиболее употребительных типов конечных элементов (Рисунок 3): брус (А), стержень (В), тонкая пластина или оболочка (С), двумерное или трехмерное тело (О). Естественно, что при построении модели могут быть использованы не один, а несколько типов элементов.
Достоверность расчетов по МКЭ зависит от многих факторов, в том числе и от количества конечных элементов. Однако, если напряжения не меняются значительно в пределах модели, то количество конечных элементов несущественно влияет на точность вычисления напряжений.
Рисунок 4 – Типы конечных элементов
Конечные элементы могут быть линейными (элементы первого порядка) или параболическими (элементы второго порядка) (Рисунок 4). Линейные элементы имеют прямые стороны и узлы только в углах. Таким образом, минимальное число узлов трехмерного элемента равно 4. Параболические элементы могут иметь промежуточный узел вдоль каждой из сторон.
Именно благодаря этому стороны элемента могут быть криволинейными (параболическими). При равном количестве элементов параболические элементы дают большую точность вычислений, т. к. они более точно воспроизводят криволинейную геометрию модели и имеют более точные функции формы (аппроксимирующие функции). Однако расчет с применением конечных элементов высоких порядков требует больших компьютерных ресурсов и большего машинного времени.
Рассмотрим самый простой трехмерный линейный элемент с 8 узлами (Рисунок 5). Каждый из узлов имеет 3 степени свободы. Это означает, что необходимо рассмотреть 24 узловые смещения и столько же узловых сил. Таким образом, размерность матрицы жесткости [К], связывающей вектор узловых смещений с вектором узловых сил, будет [24 х 24].
Компоненты матрицы жесткости прямо пропорциональны модулю упругости. Таким образом, нулевой модуль упругости означает отсутствие конечного элемента (Рисунок 6). В этом случае деление на нулевой модуль упругости приведет к значительным погрешностям.
Бесконечно большой модуль упругости означает, что данный элемент является абсолютно жестким. Кроме того, если теория упругости допускает бесконечные напряжения (например, в вершине трещины), то в МКЭ напряжения всегда конечны.
Рисунок 5 – Матрица жесткости трехмерного элемента с 8 узлами
Рисунок 6 – Пример отсутствия КЭ
Несколько замечаний относительно соотношения между сторонами элемента. «Длинные» элементы с соотношением сторон 2 и более (Рисунок 7) можно использовать, если не ожидаются большие градиенты смещений, деформаций и напряжений, т. е. вдали от зоны действия концентраторов напряжений.
Рисунок 7 – Соотношения длин КЭ
Если конструкция и нагрузки симметричны относительно оси, смотри Рисунок 8, задача может быть решена с помощью плоских симметричных конечных элементов.
Рисунок 8 – Симметричные нагрузки
Построение сетки конечных элементов
Одним из наиболее важных этапов в конечно-элементном анализе является построение на модели сетки из конечных элементов, т. е. разделение всей модели на маленькие кусочки (конечные элементы), связанные между собой в узлах.
В программном комплексе ANSYS имеется два основных метода построения сетки: построение произвольной сетки (Рисунок 9а) и построение упорядоченной сетки (Рис. 9б). Произвольная сетка строится автоматически, при этом соседние элементы могут существенно отличаться по размерам (Рис. 9а). Упорядоченная сетка строится путем деления геометрических элементов модели на некоторое число частей (рис.9 б). В автоматически построенных сетках с большим числом элементов число узлов преобладает над числом элементов. Отношение между узлами и элементами, примерно, 2:1 для плоских произвольных сеток и 6:1 для произвольных трехмерных сеток с четырехгранными элементами.
Рисунок 9 – Методы построения сетки в программе «ANSYS»
а) построение произвольной сетки; б) построение упорядоченной сетки
Рисунок 10 – Зависимость количества КЭ от размеров элемента
Рисунок 11 – Рекомендации по разбивке конструкции на КЭ
Очевидно, что чем меньше линейный размер конечного элемента А (Рисунок 10), тем большее количество элементов в модели, при этом время вычислений существенно возрастает, а ошибки анализа уменьшаются. Однако, ошибки уменьшаются не до нуля, т. к. с увеличением числа элементов накапливаются ошибки округления в ЭВМ.
Практика расчетов с применением МКЭ позволяет дать следующие рекомендации (Рисунок 11):
1) линейные элементы требуют более частой сетки, чем квадратичные элементы (с одним промежуточным узлом) или кубичные (с двумя промежуточными узлами);
2) упорядоченная сетка (б) является более предпочтительной, чем произвольная сетка (а);
3) прямоугольная сетка с 4 узлами (в) более предпочтительна, чем сетка с треугольными элементами (б);
4) сетка треугольных элементов с промежуточными узлами (г) имеет, по крайней мере, ту же самую точность, что и сетка прямоугольных элементов с 4 узлами (в);
5) прямоугольная сетка с 8 узлами (д) является более предпочтительной, чем сетка треугольных элементов с промежуточными узлами (г), несмотря на больший размер прямоугольных элементов; 6) аппроксимация смещений кубическим полиномом (е) не требует более мелкой сетки.
Необходимо помнить, что МКЭ — приближенный метод, точность которого зависит от правильного выбора типов и размеров конечных элементов. Так, например, более частая сетка требуется там, где ожидается большой градиент деформаций или напряжений (Рис. 12).
В то же время более редкая сетка может применяться в зонах с более или менее постоянными деформациями или напряжениями, а также в областях, не представляющих особого интереса. В связи с этим исследователь должен уметь предвидеть области концентрации напряжений.
Рисунок 12 – Сетка КЭ в зоне высокого градиента напряжений
Рисунок 13 – Правило разбивки сетки КЭ в зоне высокого градиента
напряжений
Необходимо заметить, что точность результатов анализа уменьшается, если размеры соседних элементов вблизи концентратора напряжений существенно различны (Рисунок 13).
Форма конечных элементов также влияет на точность вычислений. С этой точки зрения следует избегать слишком узких и вытянутых элементов (Рисунок 14), т. к. элементы с одинаковыми, примерно, сторонами дают меньшую ошибку.
Удачно Неудачно
Рисунок 14 – Примеры формы КЭ
Дополнительные сведения об ошибках, связанных с расположением, формой и размерами КЭ, приведены в п. 1.4 «Точность результатов».
Одновременно в сетке могут присутствовать треугольные и четырехугольные элементы, однако между ними не должно быть разрывов (Рисунок 15).
Рисунок 15 – Сетка КЭ
Для дальнейшего объединения элементов в сетку узлы последовательно нумеруются. Запрещается строить четырехугольные элементы с углами, больше 180°.
Рисунок 16 – Примеры КЭ.