214 Модуль IX. Диференціальне числення функцій кількох змінних
_________________________________________________________________________________________________________________________
МОДУЛЬ IX
Диференціальне числення функцій кількох змінних Теоретичні запитання
Що називається функцією багатьох змінних, зокрема, двох змінних?
Який геометричний зміст функції двох змінних та її області визна-чення?
Що називається функцією трьох змінних? Її області визначення.
Геометричне тлумачення області визначення функції трьох змінних.
Що називається границею функції двох змінних?
В якому випадку функція називається неперервною в точці, в області?
Що називається точкою розриву функції двох змінних?
Як визначаються частинні похідні?
Сформулюйте правила знаходження частинних похідних функції кількох змінних.
В чому полягає геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних?
Коли функція називається диференційованою в даній точці?
Що називається повним диференціалом функції?
В чому полягає правило застосування повного диференціалу для наближених знаходжень значень функції, близьких до відомих?
Рівняння дотичної та нормалі до поверхні в даній точці.
Запишіть формули знаходження повної похідної для складних та неявних функцій.
Що називається похідною функції в даній точці за даним напрямом? Запишіть формулу її обчислення.
Що називається градієнтом скалярного поля в даній точці?
Як визначається похідна за даним напрямом через градієнт та одиничний вектор?
Що називається екстремумом функції двох змінних? Сформулюйте необхідні та достатні умови екстремуму.
В чому полягає метод найменших квадратів при знаходженні функції на основі експериментальних даних?
Варіанти розрахункових завдань
Варіант 1
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
,
.
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення
функції
:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4,3 |
5,3 |
3,8 |
1,8 |
2,3 |
Методом найменших квадратів знайти
функцію
,
яка виражає наближено (апроксимує)
функцію
.
Зробити рисунок, на якому в декартовій
прямокутній системі координат побудувати
експериментальні точки та графік
апроксимуючої функції
.
Варіант 2
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
,
,
.
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4,5 |
5,5 |
4,0 |
2,0 |
2,5 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 3
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
,
,
.
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у
напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4,7 |
5,7 |
4,2 |
2,2 |
2,7 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 4
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
,
,
.
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у
напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4,9 |
5,9 |
4,4 |
2,4 |
2,9 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 5
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
,
.
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у
напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5,1 |
6,1 |
4,6 |
2,6 |
3,1 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 6
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
,
,
.
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у
напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3,9 |
4,9 |
3,4 |
1,4 |
1,9 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 7
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
.
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у
напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5,2 |
6,2 |
4,7 |
2,7 |
3,2 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 8
1. Знайти область існування функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
,
,
.
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5,5 |
6,5 |
5,0 |
3,0 |
3,5 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 9
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
.
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у
напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5,7 |
6,7 |
5,2 |
3,2 |
3,7 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 10
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
;
5. Замінюючи приріст відповідної функції
диференціалом, наближено обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в точці
у
напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5,9 |
6,9 |
5,4 |
3,4 |
3,9 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 11
1. Знайти область визначення функції
.
2. Знайти похідну
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини
і нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в замкненій області
:
;
;
.
5. Замінюючи приріст відповідної
функції диференціалом, наближено
обчислити
.
6. Для функції
знайти градієнт в точці
та похідну в цій точці у напрямі вектора
.
7. Експериментально одержано значення функції :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5,3 |
6,3 |
4,8 |
2,8 |
3,3 |
Методом найменших квадратів знайти функцію , яка виражає наближено (апроксимує) функцію . Зробити рисунок, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції .
Варіант 12
1. Знайти та відобразити на рисунку
область існування функції
.
2. Знайти похідні другого порядку від
функції
.
3. Знайти рівняння дотичної площини і
нормалі до поверхні
в точці
.
4. Знайти найменше та найбільше значення
функції
в області
:
;
.