__________________________________________________________________________________________________________________________
Модуль VI
Визначений та невластивий інтеграли Теоретичні запитання
Що називається визначеним інтегралом?
Які практичні задачі призводять до поняття визначеного інтеграла?
Сформулюйте теорему існування визначеного інтеграла.
Перелічіть всі властивості визначеного інтеграла (10 властивостей).
Як читається теорема Барроу?
Запишіть формулу Ньютона-Лейбніца.
Виведіть формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла.
Як визначаються невластиві інтеграли?
Який невластивий інтеграл зветься збіжним, а який розбіжним?
Запишіть формулу обчислення площі в прямокутних координатах.
По якій формулі обчислюється площа в полярних координатах?
Запишіть формули для обчислення довжини дуги кривої в прямокутних координатах, в параметричній формі та в полярній системі координат.
Як обчислюється об’єм тіла обертання?
Варіанти розрахункових завдань
Варіант 1
1. Оцінити інтеграли:
а)
;
б)
.
2. Знайти середні вартості функцій:
а)
на
; б)
на
.
3. Знайти похідні функцій:
а)
; б)
.
4. Обчислити визначені та невластивий інтеграли:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
.
5. Обчислити площу фігури, обмеженої
графіками функцій
,
.
6. Обчислити площу фігури, обмеженої
лінією, що задана параметричними
рівняннями
7. Обчислити площу фігури, обмеженої
лініями, що задані рівняннями в
полярних координатах
,
.
8. Обчислити довжину дуги кривої, що
задана в прямокутній системі координат
.
9. Обчислити довжину дуги кривої, що задана параметричними рівняннями
10. Обчислити довжину дуги кривої, що задана рівнянням в полярних
координатах
,
.
Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури,
обмеженої графіками функцій
,
.
Варіант 2
1. Оцінити інтеграли:
а)
;
б)
.
2. Знайти середні вартості функцій:
а)
на
;
б)
на
.
3. Знайти похідні функцій:
а)
; б)
.
4. Обчислити визначені та невластивий інтеграли:
а)
;
б)
;
в)
; г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
5. Обчислити площу фігури, обмеженої
графіками функцій
,
.
6. Обчислити площу фігури, обмеженої
лініями, що задані параметричними
рівняннями
7. Обчислити площу фігури, обмеженої
лінією, яка задана рівнянням в полярних
координатах
.
8. Обчислити довжину дуги кривої, що
задана в прямокутній системі координат
рівнянням
,
.
9. Обчислити довжину дуги кривої, що задана параметричними рівняннями
10. Обчислити довжину дуги кривої, що задана рівнянням в полярних
координатах
,
.
Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури,
обмеженої графіками функцій
,
.
Варіант 3
1. Оцінити інтеграли:
а)
;
б)
.
2. Знайти середні вартості функцій:
а)
на
; б)
на
.
3. Знайти похідні функцій:
а)
; б)
.
4. Обчислити визначені та невластивий інтеграли:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
;
е)
;
ж)
; з)
.