Состав математической модели ор

Полная математическая модель включает описание связей между основными переменными процесса в статическом режиме (статическая модель) и во времени при переходе из одного режима в другой (динамическая модель).

Модели статики и динамики

Статическая модель. Вначале анализируют физико-химические закономерности технологического процесса, его целевое назначение, основные уравнения, которыми можно описать этот процесс и его особенности. Затем выявляют входные (управляющие и возмущающие воздействия) и выходные (управляемые переменные) переменные процесса. Далее определяют связи между названными переменными и граничные условия протекания процесса. Статическая модель содержит уравнение, описывающее поведение объекта в статическом режиме, т.е. показывает взаимосвязь между входными и выходными величинами объекта управления:

у = f(u, d),

где u – управляющее воздействие; d – возмущающее воздействие.

Это уравнение называется уравнением статики и является алгебраическим или дифференциальным уравнением, содержащим производные по какому-либо параметру, кроме времени (условие неизменности координат во времени).

Динамическая модель. Построение динамической модели предполагает определение динамических характеристик процесса экспериментально, теоретически или сочетая оба способа. Динамическая модель содержит уравнения динамики

у = f(u, d, τ),

устанавливающие взаимосвязь между основными переменными процесса при изменении их во времени (т.е. описывающие поведение объекта в динамическом режиме), а также ограничения, накладываемые на переменные:

y_min ≤ y ≤ y_max,

u_min ≤ u ≤ u_max.

Динамическая модель процесса может быть построена в виде передаточных функций, в виде обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений с частными производными, в виде конечно-разностных уравнений, в виде спектральных характеристик и т.д.

Уравнение статики можно получить из уравнения динамики, если все входящие в него производные по времени приравнять к нулю.

Последовательность составления уравнений динамики ор

1. Записываем уравнения теплового баланса, равновесия, материального баланса;

2. Выявляем входные и выходные величины объекта;

3. Переходим от абсолютных к приращенным величинам;

4. Проводим линеаризацию нелинейных зависимостей;

5. Приводим уравнение к стандартному виду.

10. Составление уравнения динамики и нахождение динамической характеристики гидравлического резервуара со свободным сливом жидкости

↓

11. Составление уравнения динамики и нахождение динамической характеристики гидравлического резервуара, жидкость из которого откачивается центробежным насосом

Рассмотрим резервуар (см. рис.II-1), из которого насосом откачивается жидкость, причем производительность F_р постоянна.

Для нахождения зависимости уровня жидкости в аппарате L от входных величин F_пр и F_р (в м³/с) составим уравнение материального баланса аппарата:

F_прdt = dV + F_рdt,

где V – объем жидкости в аппарате, м³; t – время, с. Отсюда скорость изменения объема жидкости в аппарате:

dV / dt = F_пр - F_р (1).

Скорость изменения уровня жидкости L, если площадь горизонтального сечения аппарата А (в м²) неизменна по высоте

dL / dt = (F_пр - F_р) / A (2)

Таким образом, скорость изменения уровня в резервуаре пропорциональна разности потоков жидкости на входе и выходе. Уровень жидкости принимает постоянные значения во времени (скорость dL / dt = 0) только при отсутствии рассогласования потоков F_пр и F_р.

Проинтегрируем уравнение (2) в пределах от 0 до t

Следовательно, выходная величина объекта пропорциональна интегралу от изменения его входных величин.

При ступенчатом изменении нагрузки объекта на величину ΔF уровень жидкости L изменяется по зависимости (1):

L = (ΔF / A)∙t + L₀ (3).

Как следует из уравнения (3), скорость изменения выходной величины при ступенчатом возмущении ΔF постоянна и равна

dL / dt = ΔF / A

При расчетах систем автоматизации уравнение динамики объекта представляют в относительных величинах. Предполагая, что F_пр является возмущением, а F_р – регулирующим воздействием (см. рис.II-1), имеем

x = ΔL / L₀ u = ΔF_р / F₀ z = ΔF_пр / F₀

где L₀ и F₀ – значения соответствующих величин при равновесном состоянии объекта.

Запишем уравнение (2) в приращениях

dΔL / dt = (ΔF_пр - ΔF_р) / A

и введя относительные величины

(L₀ / L₀)∙(A / F₀)∙(dΔL / dt) = (ΔF_пр / F₀) - (ΔF_р / F₀),

получим уравнение динамики:

(AL₀ / F₀)∙(dx / dt) = z – u (4)

Из уравнения (4) видно, что отношение AL₀ / F₀ имеет размерность времени. Его называют временем разгона объекта и обозначают через Т_ε.

Заменяя коэффициент в левой части уравнения (4) через Т_ε, получим уравнение динамики нейтрального объекта первого порядка в общем виде

Т_ε∙(dx / dt) = z – u (5)

Интегрируя уравнение (5), найдем

В нашем случае u = 0. При единичном ступенчатом возмущении z = 1(t) изменение выходной величины x подчиняется зависимости: