1. Однородные уравнения.

Определение. Уравнения (2.2) или (2.3) называются однородными, если есть однородная функция нулевого измерения:

, (3.5)

или функции и являются однородными одного измерения:

, . (3.6)

Однородное уравнение (2.2) всегда можно представить в виде:

. (3.7)

Любой из подстановок - , или - однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Например, вводя новую искомую функцию , сведем (3.7) к уравнению

, (3.8)

в котором переменные разделяются. Если есть корень уравнения , то решением однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).

Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (3.7). Можно сразу выполнять подстановку (или .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Имеем однородное уравнение (заменяя в уравнении x и y на tx, ty приходим к исходному уравнению : ; иначе, уравнение приводится к виду . Положим . Тогда . Подставим в уравнение, получим: . Разделим переменные: . Отсюда интегрированием функций находим или . Подставляя , после преобразования получим общее решение . При разделении переменных обе части уравнения делили на произведение , поэтому могли потерять решения, которые обращают в нуль это произведение. Положим ( - см. область определения уравнения). Из этого уравнения находим . Проверка показывает, что и и – решения данного уравнения.

1^. Линейные уравнения. Линейным дифференциальным уравнением называется линейное относительно неизвестной функции и ее производной уравнение:

, (3.10)

где и - заданные функции от , непрерывные в области интегрирования уравнения (3.10). Через каждую точку полосы , проходит одна, и только одна, интегральная кривая уравнения (3.10), определенная во всем интервале . Всякое решение линейного уравнения есть частное, так что особых решений оно не имеет.

Если , то уравнение (3.10) называется линейным однородным:

. (3.11)

Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

. (3.12)

Все решения линейного однородного уравнения (3.11) содержатся в формуле (3.12) его общего решения. Общее решение неоднородного линейного уравнения (3.10) может быть найдено несколькими способами; здесь рассмотрим два из них.

а) метод подстановки. Положим . Тогда уравнение (3.10) приводится к виду

. (3.13)

Выберем функции и так, чтобы сумма обратилась в ноль. Так как не равна тождественно нулю ( не является решением уравнения (3.10)), то должно быть

(3.14)

- для определения функции получили уравнение с разделяющимися переменными. Выбрав какое – либо частное решение , подставим его в (3.13); для определения функции получим уравнение с разделяющимися переменными

. (3.15)

Решая уравнение (3.15), найдем его общее решение . Перемножая найденные функции и , получим общее решение уравнения (3.10):

.

Пример 1. Решить уравнение . Выделить частное решение, проходящее через точку .

Решение. Ищем общее решение уравнения в виде . Подставляя и в уравнение, получим: , или (*). Функцию найдем из условия , .

Интегрируем уравнение . Возьмем частное решение . Подставляя его в (*), получим уравнение , из которого интегрированием находим функцию . Общее решение исходного уравнения .

Чтобы выделить нужную интегральную кривую, подставим в найденное решение : , откуда С = 0; решением поставленной задачи Коши служит парабола .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в виде - оно линейно относительно x и . Решим его методом подстановки. Полагаем , тогда и после подстановки x и в уравнение, оно приводится к виду: (*). Функцию определяем из уравнения . Из его общего решения выберем, например, частное и подставим его в (*); получим или . Общее решение этого уравнения: . Перемножая и , получим общее решение данного уравнения .

Уравнение вида

(5.11)

допускает понижение порядка на единицу, если ввести новую искомую функцию: и принять y за независимую переменную . При этом производные преобразуются так:

;

(5.12)

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Уравнение не содержит независимое переменное x. Полагая , , приходим к уравнению первого порядка - уравнению Бернулли, решаемому, например, с помощью подстановки :

, откуда . Заменяя здесь p на , разделяя переменные и интегрируя, будем иметь . Подставляя y = C в уравнение, убеждаемся, что y = C не является его решением.