Тема 8. Дифференциальные уравнения.
Основные понятия.
Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово «обыкновенные» будет опускаться).
В общем виде дифференциальное уравнение можно записать в виде:
где
- некоторая функция
переменных,
,
при этом порядок
старшей производной, входящей в запись
уравнения называется порядком
дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение -ого порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:
где
- некоторая функция от
переменной.
Решением
дифференциального уравнения называется
такая функция
,
которая при подстановке ее в это уравнение
обращает его в тождество. Например,
функция
является решением уравнения
,
так как
.
Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Пример 12.1.
Решить уравнение
.
Решение. Поскольку
,
то исходное уравнение равносильно
следующему равенству дифференциалов:
.
Выполняя почленное интегрирование,
получаем
,
где
- произвольная постоянная. Вновь
записываем производную как отношение
двух дифференциалов, приходим к равенству
.
Интегрируя почленно, окончательно
получаем
,
где
- произвольная постоянная.
Общим решением дифференциального уравнения -ого порядка называется его решение
которое является
функцией переменной
и
произвольных независимых постоянных
.
Частным решением
дифференциального уравнения называется
решение, получаемое из общего решения
при некоторых конкретных числовых
значениях постоянных
.
Их можно получить если заданы дополнительные
условия, которые называют которые
называют начальными. Например, если
известно, что
и
,
то в примере 12.1 получаем решение
.
Тогда
- общее решение,
- частное решение дифференциального
уравнения
.
2. НЕПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
Дифференциальное
уравнение
первого порядка называется неполным,
если функция
явно зависит либо только от
,
либо только от
.
Рассмотрим такие решения таких уравнений.
1. Уравнение
или
.
Перепишем уравнение в виде
,
откуда его решение
.
2. Уравнение
.
Его решение удобно
искать в виде
,
т.е. считать, что переменная
обозначает независимую переменную, а
переменная
- функцию. (Поскольку
,
то уравнение
можно записать в виде
и, ввиду инвариантности
формы дифференциала, считать переменные
и
равноправными). В этом случае из
получаем
и
.
Пример 12.2.
Решить уравнение
Решение. Найдем
решение в виде
.
полагая, что
из формулы
получаем
и
откуда
и
.
Полагая, что произвольная постоянная
,
получим
.
(Заметим, что полученное общее решение
уравнения при
дает частное решение
,
«потерянное» в процессе преобразований.).
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
или в виде
где
,
,
- некоторые функции переменной
;
- функции переменной
.
Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.
Пример 12.3.
Решить уравнение
.
Решение. Приведем уравнение к виду .
; 
Делим обе части
уравнения на
:
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения
;
При делении на
могли быть потеряны решения
и
,
т.е.
.
Очевидно, что
- решение уравнения
,
а
нет.
Уравнения вида
где
и
- некоторые числа, приводятся к уравнениям
с разделяющимися переменными заменой
(или
,
где
-
некоторое число).
Пример 12.4. Решить уравнение:
.
Решение. Положим
.
Тогда
,
откуда
и исходное уравнение приводится к виду:
который допускает
разделение переменных. Действительно,
выражая из последнего равенства
,
получаем
и, следовательно,
Выполним почленное интегрирование данного равенства.
или
.
Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем:
или
где
.
