Степенные ряды. Свойства степенных рядов

Степенным рядом называется ряд вида

(4.1)

т.е. ряд, членами которого являются степенные функции. Всякий степенной ряд (4.1) сходится в интервале . R называется радиусом сходимости ряда (4.1).

Если R = 0, то ряд (4.1) сходится только в точке x = 0. Если , то ряд (4.1) сходится на всей числовой оси. Если , то интервалом сходимости является конечный интервал с центром в точке x = 0 .

Более общий вид степенного ряда:

. (4.2)

Интервал сходимости этого ряда симметричен относительно точки : .

12.5. Ряды тейлора и маклорена. Разложение функций в ряд

ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

Пусть функция имеет в т. и некоторой ее окрестности производные любого порядка. Ряд

(5.1)

называется рядом Тейлора для функции f(x). Если же для всех значений x из некоторой окрестности т. ряд сходится и имеет суммой f(x), т.е.

то f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности т. ( или по степеням ). Если x = 0, то ряд Тейлора имеет вид

и называется рядом Маклорена.

Теорема 8. Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в окрестности т. , необходимо и достаточно, чтобы .

- остаточный член формулы Тейлора. Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид: ,

При разложении в ряд Тейлора применяют следующие приемы:

1) Непосредственное разложение в ряд Тэйлора, которое состоит из трех этапов: a)формально составляют ряд Тэйлора, для чего находят для любых n, вычисляют и подставляют найденные значения в (5.1); b) находят область сходимости ряда (5.1); c) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда , т.е. для каких x имеет место равенство: .