Тема 9. Числовые ряды.
Основные понятия.
Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости.
Достаточные признаки для рядов с положительными членами (признак сравнения; предельный признак сравнения; признак Даламбера; интегральный признак сходимости).
Ряды с членами переменного знака.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение.
Числовым рядом называется бесконечная
последовательность чисел
соединенных знаком сложения:
Числа
называются членами ряда, а член
- общим или
-м
членом ряда.
Ряд считается
заданным, если известен его общий член
,
т.е. задана функция
натурального аргумента. Например, ряд
с общим членом
имеет вид:
Сумма
первых членов ряда
называется
-й
частичной суммой ряда.
.
Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.
Число называется суммой ряда. В этом смысле можно записать:
Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример 13.1. Найти сумму ряда и проверить на сходимость.
Решение.
Рассмотрим ряд
.
Представим общий член ряда в виде:
.
Тогда частичная сумма sn
будет выглядеть так:
.
Тогда
.
Таким образом ряд сходится.
Свойства сходящихся рядов.
1) Если ряд
сходится и имеет сумму
,
то и ряд
также сходится и имеет сумму
.
2) Если ряды
и
сходятся и их суммы соответственно
равны
и
,
то и ряд
также сходится и его сумма равна
.
3) Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.
Если сумму
-ого
остатка ряда обозначить через
,
т.е.
,
то сумму ряда можно представить в виде:
4) Для того
чтобы ряд сходился, необходимо и
достаточно, чтобы при
остаток ряда стремился к нулю, т.е.
.
Установить
сходимость (расходимость) ряда путем
определения
и вычисления
можно сделать далеко не всегда из-за
принципиальных трудностей при нахождении
.
Проще это можно сделать на основании
признаков сходимости.
2. НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ.
Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю, т.е.
.
Следствие.
Если предел общего члена ряда при
при
не равен нулю, т.е.
,
то ряд расходится.
Пример 13.2.
Исследовать
сходимость ряда
Решение:
Найдем
- необходимый признак сходимости не
выполняется. Значит ряд расходится.
Замечание. Рассмотренная теорема выражает лишь необходимый, но недостаточный признак сходимости ряда. Если , то из этого еще не следует, что ряд сходится.
3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ (ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ).
Теорема (признак
сравнения). Пусть даны два ряда с
положительными членами:
(1) и
(2), причем члены первого ряда не превосходят
членов второго, т.е. при любом
.
Тогда: а) если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1;
б) если расходится ряд 1, то сходится и ряд 2.
Замечание. Так
как сходимость ряда не изменяется при
отбрасывании конечного числа членов
ряда, то условие
не обязательно должно выполнятся с
первых членов рядов и только для членов
с одинаковыми номерами
.
Достаточно, чтобы оно выполнялось,
начиная с некоторого номера
,
или чтобы имело место неравенство
,
где
- некоторое целое число.
«Эталонные ряды» (часто используемые для сравнения):
геометрический ряд
- сходится при
,
расходится при
;гармонический ряд
- расходится;обобщенный гармонический ряд
сходится при
,
расходится при
.
Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство , для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т.п. В ряде случаев более простым оказывается предельный признак сравнения.
Пример
13.3. Исследовать
на сходимость ряд
Решение.
Т.к.
,
а гармонический ряд
расходится, то расходится и ряд
.
Пример.13.4
Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Ряд
дан знакоположительный. Т.к.
,
т.е. он может быть равен 1 или–1, то
.
Из последнего неравенства видно, что
исходный ряд можно сравнить с рядом
,
а этот ряд сходится (обобщенный
гармонический с p=2>1,
все члены которого умножены на 4). Но
т.к. ряд
с большими членами сходится, то на
основании признака сравнения в
непредельной форме будет сходиться и
исходный ряд.
Теорема (предельный
признак сравнения). Если
и
- ряды с положительными членами и
существует конечный предел отношения
их общих членов
,
то ряды одновременно сходятся либо
расходятся.
Пример 13.5. Исследовать сходимость ряда
.
Решение.
Ряд знакоположительный, применим к нему
признак сравнения в предельной форме,
сравнив его с рядом
,
который сходится как обобщенный
гармонический ряд с
.
.
Предел отношения
общих членов этих рядов при
конечный, не равный нулю, следовательно,
ряды ведут себя одинаково; данный ряд
сходится. Ряд для сравнения подбираем
следующим образом: при
;
Теорема (признак
Даламбера). Пусть для ряда
с положительными членами существует
предел отношения
-го
члена к
-му
члену
.
Тогда, если
,
то ряд сходится; если
,
то ряд расходится; если
,
то вопрос о сходимости остается
нерешенным.
Замечание. Если
,
то ряд расходится.
Признак эффективен в случае наличия в общем члене ряда показательной функции или факториалов.
Пример
13.6.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример
13.7.
Определить сходимость ряда
Вывод: ряд сходится.
Пример
13.8.
Применим признак Даламбера к исследованию
сходимости ряда
.
, следовательно,
ряд сходится (учитываем, что (п
+ 1)! = п!(п
+ 1) ).
Пример 13.9. Исследовать сходимость ряда c помощью признака Даламбера.
Решение:
Здесь
.
Тогда
.
Ряд сходится, т.к.
<1.
Пример
13.10.
Исследовать сходимость ряда
.
,
=
.
Т.к. q>1,
ряд расходится.
Теорема
(интегральный признак сходимости). Пусть
дан ряд
,
члены которого положительны и не
возрастают, т.е.
,
а функция
,
определенная при
,
непрерывная и невозрастающая и
.
Тогда для сходимости
ряда
необходимо и достаточно, чтобы сходился
несобственный интеграл
.
4. РЯДЫ С ЧЛЕНАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЗНАКА
Знакочередующиеся
ряды. Под знакочередующимся рядом
понимается ряд, в котором члены попеременно
то положительны, то отрицательны:
,
где
.
Теорема (признак
Лейбница). Если члены знакочередующегося
ряда убывают по абсолютной величине
и предел его общего члена при
равен нулю, т.е.
,
то ряд сходится, а его сумма не превосходит
первого члена:
.
Пример 13.11.
Исследовать сходимость ряда
.
Ряд знакочередующийся.
Применим признак Лейбница (теорема 7).
,
.
Очевидно, что
.
Кроме того,
.
Выполнены оба условия признака Лейбница,
следовательно, ряд сходится.
Пример 13.12.
Исследовать сходимость ряда
.
Дан знакочередующийся
ряд. Члены этого ряда по абсолютной
величине монотонно убывают. В самом
деле,
,
т.к.
.
Однако,
.
Значит, ряд расходится по необходимому
признаку (теорема 1, следствие), по
признаку Лейбница расходимость не
установить.
Знакопеременные ряды. Пусть знакопеременный ряд, в котором любой его член может быть как положительным, так и отрицательным.
Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда сходится, то сходится и данный ряд.
Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Пример 13.13.
Исследовать сходимость ряда
.
Дан знакопеременный
ряд. Применим к нему признак абсолютной
сходимости. Составим ряд из абсолютных
величин членов исходного ряда:
.
Этот знакоположительный ряд сравним в
непредельной форме с рядом
,
который представляет собой геометрическую
прогрессию с
,
следовательно,
сходится. Имеем очевидное неравенство:
,
тогда ряд
также сходится, а значит по признаку
абсолютной сходимости исходный ряд
сходится абсолютно.
Пример 13.14. Исследовать на абсолютную или условную сходимость так называемый ряд Лейбница
По признаку
Лейбница (теорема 7) этот ряд сходится,
т.к. для него выполняются оба условия
этого признака: a)
и б)
.
Но ряд, составленный из абсолютных
величин данного ряда,
является
гармоническим, который расходится.
Следовательно, ряд Лейбница сходится
условно.