1) Однородные линейные уравнения с постоянными
коэффициентами
Рассматриваем уравнение (6.2), считая в
нем коэффициенты
.
Это уравнение имеет ФСР
,
определенную
и
состоящую из степенных, показательных
и тригонометрических функций.
Соответствующее ей общее решение
определено в области
ФСР ОЛДУ строится по методу Эйлера: частное решение ОЛДУ ищем в виде
,
(6.10)
где
- некоторое постоянное число (вещественное
или комплексное), подлежащее определению.
Для его определения составляют
характеристическое уравнение
.
(6.11)
Структура ФСР зависит от вида корней
уравнения (6.11).
1. Все корни характеристического уравнения
(6.11) различны и вещественны. ФСР в этом
случае имеет вид
и общее решение запишется по формуле
(6.3):
.
2. Все корни (6.11) различны, но среди них
имеются комплексные. Пусть
-
комплексный корень; тогда
-
тоже корень (6.11). Этим двум корням
соответствуют два линейно независимых
частных решения
.
Если корни
и
чисто мнимые:
,
то соответствующие линейно-независимые
решения:
.
Корням
в формуле общего решения (6.3) соответствует
выражение вида
,
а чисто мнимым корням
отвечает сумма
.
3. Среди корней характеристического уравнения (6.11) имеются кратные корни.
а).Пусть
-
вещественный k- кратный
корень. Тогда ему соответствует k
линейно независимых частных решений
,
а в формуле (6.3) – выражение вида
.
б). Если есть комплексный корень (6.11) кратности k, то ему и сопряженному с ним корню той же кратности соответствуют 2k линейно независимых частных решений вида
В формуле общего решения (6.3) этим корням соответствует выражение вида
.
Паре чисто мнимых корней кратности k отвечает сумма
.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
(6.11) имеет вид
,
откуда
-
действительные различные числа. Общее
решение (см. п.1):
.
Пример 2. Проинтегрировать уравнение
.
Решение. Уравнение (6.11):
имеет корни
.
Корни действительные, причем один из
них:
-
двукратный. Общее решение имеет вид
(см. п.3,а)):
.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Следовательно (см. п.2), функции
составляют ФСР, а общее решение имеет
вид:
.
Пример 4. Найти частное решение
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям:
.
Решение. Характеристическое уравнение
имеет единственный корень
кратности
k =3. ФСР имеет вид
(п.3,а)):
;
следовательно,
- общее решение.
Для определения произвольных постоянных найдем производные:
.
Подставляя в
и
начальные
данные, получим систему:
,
,
,
откуда находим
.
Искомое частное решение:
.
Пример 5. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
или
имеет корни
-
простой и
-
пара двукратных мнимых корней. Обще
решение (см. п.3,б):
.
