Тема 1. Матрицы и определители.

Умножение матриц.

Нахождение определителя.

Нахождение обратной матрицы.

Определение ранга матрицы.

1. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ.

Для того чтобы умножить матрицу А размерности ( - количество строк, - количество столбцов) на матрицу В размерности необходимо следовать следующему алгоритму:

1. Проверить существует ли произведение АВ, т.е. совпадает ли количество столбцов матрицы А с количеством строк матрицы В. Если совпадает, то переходим ко второму шагу, иначе произведение не существует.

2. Определить размерность результирующей матрицы С по следующему правилу: необходимо записать последовательно размерности сначала матрицы А, а затем размерность матрицы В, и исключить серединку, т.е. ( исключили). Таким образом размерность матрицы С будет строк и столбцов. Затем необходимо определить элементы результирующей матрицы.

3. Каждый элемент результирующей матрицы С, размерности , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы А на соответствующие элементы -ого столбца матрицы В, т.е.

; .

Пример 1.1. Даны матрицы А и В. Найти АВ и ВА.

Решение:

Для решения воспользуемся описанным выше алгоритмом.

1. Произведение АВ существует так как количество столбцов матрицы А (3 столбца) совпадает с количеством строк матрицы В (3 строки). Также существует и произведение ВА (2 столбца и 2 строки).

2. Определим размерность матриц С и , которые получаются в результате произведения матриц АВ и ВА соответственно.

Размерность матрицы :

Размерность матрицы :

Таким образом матрица С содержит 2 строки и 2 столбца, матрица содержит 3 строки и 3 столбца.

3. Определим элементы матрицы С и :

Умножение матриц в Microsoft Excel.

Для умножения матриц используется стандартная функция МУМНОЖ.

Функция возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

МУМНОЖ(массив1;массив2)

Массив1, массив2 — перемножаемые массивы(матрицы).

Замечание. Количество столбцов аргумента массив1 должно быть таким же, как количество сток аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа.

Решение примера 1.1 в Microsoft Excel:

1. Запускаем Microsoft Excel.

2. Вводим матрицы в виде массивов чисел. Матрица А записывается в диапазоне ячеек А2:С3. Матрица В записывается в диапазоне ячеек А5:В7.

3. Поскольку матрица А содержит 3 столбца а матрица В содержит 3 строки, то произведение АВ существует. Результатом умножения матрицы А на матрицу В будет матрица С, размерности 2х2, т.е. . Поэтому подготовим диапазон ячеек куда будет выведен массив чисел матрицы С, для этого выделим ячейки В9:С10.

4. В меню Вставка>Функция выбираем функцию МУМНОЖ (она находится в математических функциях). Вводим в поле массив1 диапазон ячеек А2:С3 а в поле массив2 диапазон А5:В7. Нажимаем ОК, затем для корректного вывода массива чисел нажимаем клавишу F2, а затем сочетание клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

5. В результате выполненных операций диапазон ячеек В9:С10 будут записаны элементы матрицы .

Аналогично найдём произведение ВА.

6. Поскольку матрица В содержит 2 столбца а матрица А содержит 2 строки, то произведение АВ существует. Результатом умножения матрицы В на матрицу А будет матрица D, размерности 3х3, т.е. . Поэтому подготовим диапазон ячеек куда будет выведен массив чисел матрицы D, для этого выделим ячейки B12:D14.

7. В меню Вставка>Функция выбираем функцию МУМНОЖ. Вводим в поле массив1 диапазон ячеек А5:В7 а в поле массив2 диапазон А2:С3. Нажимаем ОК, затем для корректного вывода массива чисел нажимаем клавишу F2, а затем сочетание клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

8. В результате выполненных операций диапазон ячеек B12:D14 будут записаны элементы матрицы .

2. НАХОЖДЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ.

Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется элемент :

.

Определителем квадратной матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

.

Определителем матрицы третьего порядка А, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

.

Определители квадратных матриц более высоких порядков определяются по теореме Лапласа.

Пример 1.2. Даны матрицы , , .

Найти -?

Решение:

Нахождение определителя матрицы в Microsoft Excel.

Для нахождения определителя матрицы используется стандартная функция МОПРЕД.

Функция возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

МОПРЕД(массив)

Массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Решение примера 1.2. в Microsoft Excel:

Найдем определитель матрицы .

1. Запускаем Microsoft Excel, если запущен, то переходим на новый лист.

2. Вводим матрицу А в диапазон ячеек А2:С4.

3. Выделяем свободную ячейку В6 куда будет выведен результат.

4. В меню Вставка>Функция выбираем функцию МОПРЕД. Вводим в поле массив диапазон ячеек А2:С4. Нажимаем ОК.

5. В результате выполненных операций в ячейке В6 будет записано значение определителя матрицы .

3. НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица А – вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле:

.

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения (пункт 5 не обязателен).

Пример 1.3. Найти матрицу, обратную к данной:

Решение:

Для нахождения обратной матрицы воспользуемся описанным выше алгоритмом.

1. Определитель матрицы (см. пример 2), т.е. матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к А:

3. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :

.

4. Вычисляем обратную матрицу :

Нахождение обратной матрицы в Microsoft Excel.

Для нахождения обратной матрицы используется стандартная функция МОБР.

Функция возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

МОБР(массив)

Массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Решение примера 1.3. в Microsoft Excel:

1. Запускаем Microsoft Excel, если запущен, то переходим на новый лист.

2. Вводим матрицу А в диапазон ячеек А2:С4.

3. Выделяем свободные ячейки А6:С8 куда будет выведен результат.

4. В меню Вставка>Функция выбираем функцию МОБР. Вводим в поле массив диапазон ячеек А2:С4. Нажимаем ОК, затем для корректного вывода массива чисел нажимаем клавишу F2, а затем сочетание клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

5. В результате выполненных операций в ячейках А2:С4 будет записана обратная матрица .

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ

В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы -ого порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -ого порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из определения следует:

а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. 4

б) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А = 0;

в) для квадратной матрицы -ого порядка тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразования матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов сроки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженного на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно матрицу к ступенчатому виду (когда все элементы расположенные выше (ниже) главной диагонали равны нулю), когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Рассмотрим алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пример 4.

Найти ранг матрицы:

Решение:

1. Если , то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, что . В данном примере поменяем местами, например, 1-ю и 2-ю строки матрицы:

2. Если , то умножая элементы 2-й, 3-й и 4-й строк на подходящие числа (именно на , , ) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам 2-й, 3-й и 4-й строк, добьемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме ) равнялись нулю:

3. Если в полученной матрице (у нас ), то умножая элементы 3-й и 4-й строк на подходящие числа (а именно, на , ), добьемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме ) равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки (или столбцы):

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например, . Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен 2.