Культурный минимум.

1. Что такое категория пространства.

2. Что такое пополнение метрического пространства?

3. Что такое мера?

4. Что такое метод палеток?

5. Алгоритм введения меры Лебега.

6. Сформулировать теорему Лебега о аддитивности меры.

7. Что такое множество лебеговой меры ноль?

8. Какие утверждения верны почти всюду? Какие функции называются эквивалентными, измеримыми?

9. Свойства измеримых функций.

10. Сформулировать критерий Лузина измеримости функций, теорему Егорова о сходимости почти всюду, теоремы Лебега о сходимости почти всюду и о сходимости по мере.

11. Схема построения интеграла Лебега на множествах конечной меры.

12. Конструкция интеграла Лебега на множествах конечной меры.

13. Что такое компакт, предкомпакт? Примеры.

14. Что такое счётный и конечный скелеты? Что такое вполне ограниченное множество?

15. Что такое открытое покрытие множества?

16. Что такое равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность.

Вопросы.

1. Доказать критерий полноты Кантора.

2. Доказать теорему Бэра о категориях.

3. Теорема Хаусдорфа о пополнении. Как строится пространство .

4. Теорема Хаусдорфа о пополнении. Показать, что пространство существует.

5. Теорема Хаусдорфа о пополнении. Показать, что метрическое пространство всюду плотно в метрическом пространстве и эти пространства изомерны.

6. Теорема Хаусдорфа о пополнении. Показать, что метрическое пространство полно и единственно.

7. Доказать, что если множество компакт, то оно замкнуто и ограничено.

8. Доказать Теорему Кантора о пересечении замкнутых, вложенных шаров.

9. Доказать, что вполне ограниченное множество ограничено. Верно ли обратное?

10. Доказать, что компактное метрическое пространство сепарабельно.

11. Доказать критерий Фреше – Хаусдорфа.

12. Доказать критерий компактности Гейне Бореля.

13. Доказать, что любой компакт гомеоморфен канторову дисконтинууму.

14. Доказать теорему Вейерштрасса о функционале, непрерывном на компакте.

15. Критерий компактности Арцела Асколи. Доказать необходимость.

16. Критерий компактности Арцела Асколи. Доказать достаточность.

Задачи.

1. Найти меру Жордана канторова дисконтинуума.

2. Применить процедуру Кантора для построения неизмеримого по Жордану множества.

3. Показать неизмеримость по Жордану множества рациональных чисел.

4. Показать неизмеримость по Жордану множества иррациональных чисел.

5. Найти меру Лебега множества рациональных и иррациональных чисел.

6. Показать, что канторов дисконтинуум есть замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество лебеговой меры ноль и мощности континуума.

7. Исследовать сходимость последовательности

8. Построить на отрезке замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество мощности континуума и с заданной мерой .

9. Взять интеграл Лебега , если

10. Показать некомпактность последовательности в пространстве .

11. Показать некомпактность последовательности в пространстве .

12. Показать, что функционал в пространстве не достигает инфинума.

13. Показать, что в пространстве последовательность равномерно ограничена, но не равностепенно непрерывна.

43