1. Из элементов данного неполного метрического пространства построим некоторое пространство .

Фундаментальные последовательности и метрического пространства назовём конфинальными, если Конфинальность определяет отношение эквивалентности, , то есть это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Рефлексивность и симметричность очевидны, а из неравенства треугольника следует транзитивность. Действительно, пусть , а . тогда Если и то . Отношение эквивалентности разбивает фундаментальные последовательности пространства на непересекающиеся классы эквивалентных между собой последовательностей. Таким образом мы получили новое фактор множество , элементами которого являются непересекающиеся классы фундаментальных последовательностей представителями которых являются фундаментальные последовательности пространства . Если фундаментальная последовательность сходится к точке , то и эквивалентная ей последовательность сходится к той же точке. Действительно, пусть . Тогда , и . Будем рассматривать фактор-множество как носитель нового метрического пространства с метрикой , если, конечно, удастся доказать, что это метрика.

2. Покажем, что метрическое пространство. То есть предел существует, не зависит от выбора представителей и удовлетворяет аксиомам метрики.

2.1. Существование. Достаточно показать, что последовательность фундаментальна, тогда, в силу полноты числовой оси, она сходится. Полнота числовой оси доказывается независимо.

Лемма 1 (о четырёх точках). Для любых четырёх точек метрического пространства Х справедливо неравенство

Поменяв местами и , получим

Отсюда сразу

Лемма 2 (о непрерывности метрики). Метрика является непрерывной функцией своих аргументов.

Из леммы 1 при , то есть если и при , то .

Доказательство существования.

Теперь ясно, что если последовательности и фундаментальные, то при Тогда согласно лемме о четырёх точках имеем при То есть числовая последовательность фундаментальна и, следовательно, и сходится в полном пространстве .

2.2. Независимость от выбора представителей.

Пусть другие представители последовательностей . Тогда Так как последовательности и конфинальны, то и

2.3. Проверим выполнение аксиом метрики.

1. По свойствам пределов, связанных с неравенствами, если все члены последовательности , то и .

2. Симметричность очевидна.

3. Докажем аксиому треугольника. Так как , то, по свойствам пределов, связанных с неравенствами и непрерывности метрики сразу получаем что и третья аксиома справедлива. Таким образом, пространство метрическое.

3. Покажем, что метрическое пространство и есть пополнение метрического пространства . То есть надо показать, что: метрическое пространство всюду плотно в метрическом пространстве и эти пространства изомерны.

3.1. метрическое пространство всюду плотно в метрическом пространстве

Рассмотрим множество всех стационарных последовательностей пространства . Все они одновременно являются и стационарными последовательностями в пространстве , то есть образуют подмножество элементами которого являются стационарные последовательности. Обратное неверно. Таким образом, . Но любая стационарная последовательность из пространства принадлежит классу конфинальных последовательностей из пространства , то есть . Это значит, что пространство изомерно вложено в пространство . Осталось показать, что пространство и, соответственно, пространство всюду плотно в пространстве . То есть каждый элемент есть точка прикосновения множества (и, соответственно, пространство ). Или в любой окрестности точки найдётся точка . Пусть фундаментальная последовательность, то есть при Зафиксировав , получим, что стационарная последовательность. Расстояние между точками и в этом случае: Это значит, что в любой окрестности точки найдётся точка , то есть пространство и, следовательно, пространство всюду плотно в .

3.2. Метрическое пространство полно.

Рассмотрим некоторую фундаментальную последовательность . Так как пространство всюду плотно в , то для каждого номера n найдётся элемент такой, что . Тогда из неравенства треугольника , то есть последовательность фундаментальна и существует класс эквивалентности , куда сходится последовательность . Но тогда и пределы существуют в силу полноты пространства , то есть , . Таким образом, метрическое пространство полно.

3.3. Метрическое пространство является единственным с точностью до изоморфизма пополнением метрического пространства .

. Пусть и два различных пополнения метрического пространства и произвольная точка. Тогда . Но, с другой стороны, , причём , а .