3. ВИ. Обобщения

b

x,y1, ,yk ,y1, ,yk , ,y1n , ,ykn dx,

J

y

J y1, ,yk f

a

функционалы с k функциями и производными до n го порядка. Из них удобно

b

выделить частный случай функционалов вида J y f x,y,y ,y ,...,y n dx, то есть

a

функционалов с одной функцией и с производными до n го порядка.

В этом, более

простом варианте среди всех функций y Cn a,b , удовлетворяющих краевым

условиям

y a y 0

,

y a y ,...,y n 1 a y n 1

,

a

a

a

где y 0 ,..., y n 1 - заданные

y b y 0

,

y b y ,...,y n 1 b y n 1

a

b

b

b

b

числа, найти ту функцию, которая доставляет экстремум функционалу

J y . При такой

постановке задачи допустимыми вариациями (x)

являются функции

(x) Cn a,b ,

удовлетворяющие краевым условиям

a a ... n 1 a 0,

b b ... n 1 b 0

(так как,

например, должно быть y a y a a ya а для этого

надо, чтобы a 0).

В

общей

постановке задачи

среди

всех

k– мерных вектор -

функций

y

y

,...,y

k

с координатами y ,...,y

Cn a,b , удовлетворяющих

краевым

1

1

k

условиям

y a y0 ,

1

1a

экстремум

функционалу

J

y

J

y1, ,yk .

В этой задаче допустимыми

вариациями

j аргументов

yj являются

функции

j

Cn a,b , удовлетворяющие

краевым условиям

Определение.

Для функционала

от

k

функций

(от

k мерной вектор –

функции)

J y1,y2, yk J

y

производная

функции

в точке

0

является первой вариацией

j J y1,y2, ,yj

, ,yk

функционала

J y1,y2, yk

в точке

y

y1,y2, yk

по

аргументу yj при

данной вариации j (x) этого аргумента:

J

y ,y , ,y

, ,y

J y ,y , ,y

, ,y

yj J

y

, j

j 0 lim

1

2

j

j

k

1

2

j

k

.

0

Положим для удобства (x) h(x).

Теорема (о вариации интегрального

функционала):

Пусть M Cn a,b -

некоторое

множество

допустимых

функций.

Вариация

функционала

b

dx

y M

J y f x, y,y ,y ,...,y

n

в точке

при любой допустимой вариации

a

M аргумента существует и равна

b

fy x,y,y ,...,y n h fy x,y,y ,...,y n h ...

J y,h

a

fy n x,y,y ,...,y n h n dx.

□ Докажем при n 1, потому,

что при n 2 доказательство аналогично. В этом случае

b

y C1 a,b

J y f x,y,y dx.

Как

было

отмечено

выше,

интеграл

при

a

существует.

Надо

найти

J y,h 0 ,

где

b

J y h f x,y h,y h dx.

Имеем

b

b

где

f

x,

F

x,

y h, y h

dx

dx ,

a

a

F x, f x,y x h x ,y x h x . Ввиду непрерывности

f x,y,y и

непрерывности

функций

y x h x ,

y x h x сложная

функция

F x, непрерывна при

x a,b

и любых

, т.е. в прямоугольнике (бесконечной

a,b , ,

длины)

x, : x

. Частная производная

F x, fx x

fy y

fy y

fy , fy

и непрерывности функций

y x , y x ,h x ,h x . Поэтому можно согласно

теореме

Лейбница

дифференцировать

по

под знаком

интеграла

b

b

b

y

F

x,

x,

dx

x,y h,y h

dx

F

f

h

a

a

a

b

b

Отсюда

0 fy x,y,y h fy x,y,y h dx

a

a

b

J y,h fy x,y,y ,...,y n h fy x,y,y ,...,y n h ...

a

fy n x,y,y ,...,y n h n dx.

Теорема. (необходимое условие локального экстремума функционала в

терминах первой вариации).

Пусть функционал J y1,y2, ,yk J

y

, определенный

на множестве M допустимых вектор–функций

y

y1,y2, ,yk с координатами

y1,y2, ,yk

Cn a,b имеет в точке

y

0 y10,y20, ,yk0 M локальный экстремум.

Если в этой точке функционал имеет первую вариацию по аргументу

yj

при какой-либо

вариации hj

этого аргумента, то эта первая вариация равна нулю: yj

0

J y

,hj 0.

3

□

Пусть, например

y

0 точка

минимума:

существует

0

такое, что

y1, ,yk M :

y1 y10

1 , ,

yj y0j

1 , ,

yk yk0

n

J

C

C

C

y1, ,yj, ,yk J

y10, ,y0j , ,

yk0

. Возьмем точку

y1, , yj , ,yk y10, ,y0j

hj, , yk0 M .

Для

нее

y1 y10

0, ,yj y0j

j, ,yk

yk0 0. При достаточно малом будет

J

y , ,

y

j

, ,

y

J y

0, ,y0

, ,y0

,

то

есть

1

k

1

j

k

J

y0, ,

y0 h

j

, ,y0

J

y

0, ,y0

, ,y0

, или

j

j

0 .

1

j

k

1

j

k

Таким образом,

при всех достаточно малых выполняется неравенство

j

j 0 . Это означает, что функция

j

J y1,y2, ,yj , ,yk

имеет минимум в точке 0. По условию,

при данной вариации j

существует первая

вариация по аргументу yj , т.е. существует j 0 . Но,

по теореме Ферма, если в точке

локального экстремума

числовая функция числового аргумента имеет производную, то

она равна нулю: j 0 0.

Следовательно, yj

y

0, j 0.

Замечание.

Если найдена вектор – функция

y

y1,y2, ,yk

в которой

первые вариации функционала J

y

J y1,y2, ,yk обращаются в нуль, то это ещё

не

значит,

что в

точке

y

0

функционал

действительно имеет экстремум:

ведь это

b

J y J y1, ,yk f x,y1, ,yk ,y1, ,yk , ,y1n , ,ykn dx,

a

определенный на множестве функций y y , ,y

k

, где

y , ,y

k

Cn a,b ,

1

1

d

d

2

n

d

n

fy

fy 1

f n 0,

fy

2

n

1

dx

1

dx

1

dx

y1

2

n

d

d

n d

fy2

fy2

fy2

1

f n 0,

dx

dx

2

dx

n

y2

2

n

d

d

n d

f

f

f

1

f n 0.

2

n

yk

dx

yk

dx

yk

dx

yk

□

Сначала

докажем для

функционала от одной функции

b

J y f x,y,y ,y , ,y n dx,

причем

при

n 2:

для

a

b

Допустимыми

вариациями

являются

функции

h C2 a,b

такие,

что

h a h a 0,

h b h b 0

(при

n 3 доказательство аналогично).

Для

упрощения

доказательства

добавим

условие:

функция

y y x , доставляющая

экстремум функционалу, четырежды непрерывно дифференцируема, т.е.

y C4 a,b

вместо

y C2 a,b

(теорема

верна

и без этого условия).

В точке локального

экстремума

y

при любой допустимой вариации

h аргумента вариация функционала

равна

нулю:

J y,h 0.

Тогда

b

J y,h fy x,y,y ,y h fy x,y,y ,y h fy

x,y,y ,y h dx.

a

Значит, при любой функции h C2 a,b , удовлетворяющей условиям

h a h a 0,

h b h b 0,

выполняется

равенство

b

fy h fy h fy h dx 0.

Второй и третий интегралы возьмем по

a

частям:

b

b

fy

u,h dx dv

d

b

f h dx

d

f

h

f

hdx

y

y

a

dx

y

a

dx,v

h

a

du

dx

fy

b

d

fy hdx,

dx

a

так как h a h b 0;

b

dv

b

fy

u, h dx

d

b

f h dx

d

f

h

a

f

h dx

y

y

y

dx

a

du

dx,

v h

a

dx

fy