3.7. Компактность в метрических пространствах

Комментарий. 1. В классическом анализе в соответствии с теоремой Больцано Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Однако, в бесконечномерных метрических пространствах это, вообще говоря, не так. Приедем два очевидных примера. Рассмотрим в метрическом пространстве последовательность , где . Она лежит на сфере , то есть ограничена, но не фундаментальна, так как Это значит, что из неё нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Второй пример в пространстве даёт последовательность . Эта последовательность, очевидно, замкнута и ограничена в . Однако неё тоже нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Чтобы это показать, рассмотрим . Выберем . Тогда при видно, что , то есть ни сама последовательность, ни любая её подпоследовательность даже не фундаментальны.

2. В классическом анализе в соответствии с теоремой Вейерштрасса. Любая непрерывная функция (функционал), заданная на замкнутом, ограниченном множестве, которое в классическом анализе называется компактом, достигает на нём своих точных верхней и нижней граней. Однако рассмотрим в пространстве множество всех функций . Это замкнутое ограниченное множество, на котором определим функционал . Покажем, что он непрерывен. Пусть , причём сходимость равномерная по теореме Кантора. Тогда по свойству равномерно сходящихся последовательностей , то есть функционал непрерывен. Ясно, что . Более того, для любой непрерывной функции, соединяющей точки и функционал . Рассмотрим непрерывную функцию . тогда , то есть , но он не достижим. Однако, доказательство теоремы Вейерштрасса опирается на теорему Больцано Вейерштрасса. Надо хотя бы отгородиться от этих неприятностей.

Определение 1. Пусть метрическое пространство. Множество называется компактом, если из любой последовательности можно выделить подпоследовательность, .

Определение 2. Если замыкание множества компакт, то множество называется предкомпактом (то есть подпоследовательность сходится к элементу из замыкания).

Комментарий. Компракт и предкомпакт называют компактными множествами. Ясно, что компакт подпространство полного метрического пространства или само полное метрическое пространство. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, множество компакт, так как из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но всё пространство с метрикой не компактно, так как из последовательности сходящуюся подпоследовательность выделить нельзя. По тем же соображением пространство не компактно, хотя любое его замкнутое ограниченное подмножество уже компакт. Пространства и не компактны. Более того, ранее мы показали, что в них существуют замкнутые, ограниченные множества, не являющиеся компактами.

Теорема 1. В любом метрическом пространстве если множество компакт, то множество замкнуто и ограничено.

Пусть произвольная последовательность сходится к . Так как множество компакт, то из последовательности можно выделить подпоследовательность . Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу последовательности, то есть . Ограниченность очевидна.

Комментарий. В полном метрическом пространстве счётное пересечение замкнутых, вложенных шаров, радиусы которых не стремятся к нулю, может быть пустым. Для компактов это невозможно.

Теорема 2 (Кантора о пересечении замкнутых, вложенных шаров).

Пусть последовательность непустых компактных множеств, вложенных друг в друга, то есть . Тогда

не пусто.

Выберем в шаре точку , в шаре точку и так далее. Ясно, что последовательность , а так как компакт, то из последовательности можно выделить подпоследовательность , все члены которой, начиная с некоторого номера, попадет в какой-то шар , и , так как шар замкнут. Но тогда .

Определение 3. M и подмножества метрического пространства X . Множество называется сетью (скелетом) для множества M, если и

Определение 4. Множество вполне ограничено (полностью ограничено), если оно имеет конечную сеть (“конечный скелет”).

Теорема 3. Вполне ограниченное множество метрического пространства ограничено.

Пусть М - вполне ограниченное множество метрического пространства Х , его конечная сеть, произвольная точка, а некоторая фиксированная точка. Тогда, используя неравенство треугольника, получим Это неравенство и означает ограниченность множества М, так как просто конечный набор чисел.

Комментарий. Обратное, вообще говоря, неверно.

1. Рассмотрим в пространстве с метрикой любую последовательность, составленную из нулей и единиц. Она ограничена, но не вполне ограничена, так как расстояние между любыми парами элементов равно единице и при её нельзя накрыть конечной сетью.

2. Рассмотрим в пространстве с метрикой единичную сферу , то есть все последовательности вида . Все образуют ограниченное, но не вполне ограниченное множество, так как , то есть, например, при его нельзя накрыть конечной сетью.

Теорема 4. Компактное метрическое пространство Х сепарабельно.

Возьмём последовательность Так как пространство Х вполне ограничено, то для каждого существует конечная сеть Тогда объединение является счётным и всюду плотным в Х множеством. А это и означает сепарабельность пространства Х.

Теорема 5 (критерий Фреше – Хаусдорфа). Пусть –полное метрическое пространство, а . Множество компактно, если и только если вполне ограничено в .

Необходимость. Пусть множество компакт. Покажем полную ограниченность множества . Зафиксируем , выберем произвольную точку и построим открытый шар . Может случиться так, что . Это означает, что точка образует конечную сеть для множества , состоящую из одного элемента, то есть теорема доказана. Если это не так, то . Если теперь , то точки и образуют конечную сеть для , состоящую из двух элементов, то есть теорема доказана. Если это не так, то . Если процесс закончится, то конечная сеть построена, а если нет, то не фундаментальна, так как , то есть не сходится, что противоречит определению компакта.

Достаточность. Пусть – вполне ограниченное множество в полном метрическом пространстве . Покажем, что компактно. Так как полностью ограниченно, то для любого в метрическом пространстве существует конечная сеть для множества , то есть существует конечное покрытие элементов из открытыми шарами радиуса . Пусть произвольная последовательность элементов из . Тогда, в соответствии с принципом Вейерштрасса, существует хоть один шар, содержащий бесконечное число членов последовательности , то есть содержащий подпоследовательность , расстояние между элементами которой меньше . Пусть Выделим из последовательности подпоследовательность , расстояние между элементами которой меньше . Из этой подпоследовательности выделим подпоследовательность , расстояние между элементами которой меньше и т.д. Таким образом, мы получили последовательность подпоследовательностей . Тогда члены “диагональной“ последовательности , начиная с некоторого номера принадлежат той подпоследовательности, то есть . То есть последовательность фундаментальна, а так как пространство полное, то , то есть компакт или предкомпакт.

Определение 5. В полном метрическом пространстве компакт это замкнутое, вполне ограниченное множество.

Комментарий. Итак, в полном метрическом пространстве полная ограниченность и компактность суть равносильные понятия. Заметим, что в всякое замкнутое ограниченное множество компактно, всякое компактное множество замкнуто и ограниченно.

Топологический аспект понятия компактности.

Определение 6. Открытым покрытием множества называют конечную или бесконечную совокупность открытых множеств , причём эта точка принадлежит хоть одному из множеств .

Теорема 5 (Критерий компактности Гейне Бореля). Множество компакт, если и только если из любого открытого покрытия множества можно выделить конечное подпокрытие .

Комментарий. В полном метрическом пространстве компакт это замкнутое, вполне ограниченное множество. Пусть конечная сеть, то есть весь компакт целиком разместится в объединении шаров , и если, в свою очередь, каждый такой шар целиком входит в некоторое множество , то компакт . Таким образом, нужно показать, что и .

Необходимость. Пусть не существует шара, целиком входящего в некоторое множество . Тогда и , такие, что все шары не попадут целиком ни в одно множество . Но множество компакт, то есть из последовательности можно выделить подпоследовательность . Эта точка принадлежит одному из открытых множеств , то есть, по определению открытых множеств, она входит в множество вместе с некоторой окрестностью. Стало быть, существует шар , то есть целиком входящий в множество .

_{Достаточность. Пусть существует конечное покрытие множества} , но множество не компакт. Это означает, что никакая точка множества не может быть пределом последовательности или подпоследовательности, сходящейся к этой точке. Это означает, что у множества вообще нет предельных точек, то есть все его точки изолированные. Другими словами, существует шар , внутри которого нет ни одной точки из множества , кроме, быть может, точки . Рассмотрим открытое покрытие множества этими шарами. По условию, существует конечное покрытие множества , то есть существует конечная совокупность шаров, которая покрывает бесконечное множество элементов множества , но в каждом из этих шаров находится только по одной точке из множества .

Определение 7. Множество называется компактом, если из любого открытого покрытия множества можно выделить конечное подпокрытие .

Комментарий. Это определение позволило П.С. Александрову и П.С. Урысону построить теорию компактных топологических пространств, где компактность часто называют бикомпактностью. Та компактность, которым мы пользовались, называется секвенциальной компактностью (sequential (лат.) последовательность). Эти понятия, вообще говоря, различны и совпадают только в метрических пространствах.

Теорема 6 (О структуре компакта). Любой компакт гомеоморфен канторову дисконтинууму .

_{Покажем, что существует непрерывная функция} , осуществляющая биекцию между компактом канторовым дисконтинуумом . Так как компакт, то для него существует конечная сеть. Возьмём последовательность и построим её для каждого . При это будет , при это будет . При этом в каждую из них добавляем точки так, чтобы общее число точек в любой сети было степенью двойки, то есть . Рассмотрим сеть. Очевидно, что любое находится в одном из шаров с радиусом и центрами в точках . Пусть, например, эта точка находится в шаре , тогда при эта точка находится в шаре и так далее. Таким образом, для любого можно указать бесконечную последовательность вложенных шаров с радиусами , внутри которых она находится. Общее число таких шаров, образующих сеть, конечно и является степенью двойки.

_{Рассмотрим теперь построение} канторова дисконтинуума . На том шаге он содержит сегментов ранга . Если их как-то пронумеровать, например, слева направо в порядке следования сегментов, то последовательность вложенных друг в друга сегментов, содержащих эту точку. Тогда ей можно сопоставить точку и последовательность вложенных шаров с теми же номерами, внутри которых она находится. Это биективное соответствие осуществляется функцией . Покажем, что она непрерывна. Для произвольного рассмотрим шар , где . Рассмотрим последовательность вложенных шаров с радиусами , Так как , то ясно, что, начиная с некоторого шары окажутся внутри любого шара с фиксированным . Если в качестве взять наименьшее расстояние от до конца сегмента, содержащего на ном шаге точку , то как только , сразу то есть функция непрерывна.

Комментарий. Непрерывные на компакте функционалы ведут себя так же, как и функции, непрерывные на сегменте, то есть для них имеет место теорема Вейерштрасса.

Теорема 7 (Вейерштрасса). Непрерывный на компакте функционал

1. ограничен на нём и

2. достигает на нём своих точных верхней и нижней граней.

_1. Пусть функционал не ограничен на компакте , то есть точка. Так как компакт, выделим подпоследовательность. Но непрерывен, то есть исходная посылка неверна.

_{2. Так как функционал} непрерывен на компакте , он ограничен на нём, то есть множество его значений ограничено, то есть он имеет точную верхнюю грань и точную нижнюю грань . Надо показать, что функционал достигает их на компакте . Покажем это для точной верхней грани . По определению точной верхней грани и , то есть . Выделим из последовательности подпоследовательность , то есть . При по теореме о двух милиционерах , а силу непрерывности , и, так как компакт, .

_{Пример. В конечномерном пространстве любое ограниченное множество предкомпактно. Рассмотрим замкнутое множество} , и произвольную последовательность в нём. По теореме Больцано – Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность, причём она будет сходиться к элементу из , то есть компакт, а, следовательно, предкомпакт.

_{Пример. В пространстве множество не предкомпактно. Если это множество предкомпактно, то из него можно выделить сходящуюся подпоследовательность , которая по теореме Кантора должна сходиться равномерно, но равномерная сходимость влечёт поточечную, то есть сходимость в каждой точке пространства .}

_{Однако, подпоследовательность при сходится к нулю, а при к единице, то есть к разрывной функции, не принадлежащей пространству .}

Определение 7. Множество функций равномерно ограничено, если .

Определение 8. Множество функций равностепенно непрерывно, если и .

Пример. Рассмотрим в пространстве последовательность . Эта последовательность, очевидно, равномерно ограничена в . Однако, как показано ранее, она не равностепенно непрерывна, точно так же, как и последовательность в пространстве . Эта последовательность равномерно ограничена, так как . Однако не равностепенно непрерывна. Пусть Тогда , что и означает невыполнение условия равностепенной непрерывности.

Теорема 8 (Критерий компактности Арцела Асколи). Множество функций компактно, если и только если оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Необходимость. Пусть множество компактно в . 1. Докажем, что оно равномерно ограничено. Так как пространство полное, а множество компактно, то существует конечная сеть из функций . Каждая из них ограничена (как непрерывная функция на компакте), а для произвольной функции найдётся из сети такая, что . Тогда . Это и означает равномерную ограниченность множества функций .

2. Докажем равностепенную непрерывность множества . Так как множество компактно, то существует конечная сеть, состоящая из функций , таких, что . Так как все функции непрерывны на компакте , то по теореме Кантора они и равномерно непрерывны на нём, т.е. . Пусть . Тогда это наименьшее значение подойдёт для любых функций из сети. Покажем, что это значение подойдёт и для любой функции . Пусть произвольная функция множества , а функция из - сети. Тогда имеем Итак, , что и означает равностепенную непрерывность.

Достаточность. _Пусть равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное на семейство функций . Покажем, что семейство компакт, то есть построим конечная сеть.

Пусть и зафиксируем сколь угодно малое . Так как все функции равностепенно непрерывны, то и как только . Разобьём сегмент точками , причём , а сегмент разобьём точками , причём . Сопоставим каждой функции ломаную с вершинами в узлах сетки, причём так, что значение берётся такое, что . Очевидно, это всегда возможно. Таким образом, , , и . Тогда

. То есть .Так как между точками и функция линейна, то и . Пусть теперь произвольная точка из сегмента , а ближайшая к ней слева. Тогда Таким образом, ломаные и в самом деле образуют конечную сеть по отношению к множеству функций .

_{Пример. Является ли множество предкомпактным в пространстве ? Это множество равномерно ограничено, так как , а . Тогда . Кроме того, оно равностепенно непрерывно, так как по формуле конечных приращений Лагранжа при сразу для всех . Тем самым, множество предкомпактно в пространстве .}