3.5. Схема построения интеграла Лебега (На множестве конечной меры)

Разбиение области интегрирования осуществляется по признаку близости значений интегрируемой функции.

1. Рассматриваются простые измеримые функции , то есть функции, принимающие не более чем счетное число значений , где при . Для таких функций под интегралом по множеству понимается сумма или ряд (при условии абсолютной сходимости) , где меры тех отрезков, на которых функция принимает значения . То есть .

2. Множество значений простых функций, можно рассматривать, как метрическое пространство с метрикой . Но значений не более, чем счётное число, то есть это множество первой категории, следовательно, пространство значений не полное. Пополнение этого пространства осуществляется по схеме доказательства теоремы Хаусдорфа о пополнении метрического пространства.

4. Из элементов данного неполного метрического пространства строится полное пространство, где в качестве классов эквивалентности, объявляется множество всех почти всюду равных простых измеримых функций, почти всюду (или равномерно) сходящихся к функции . Таким образом мы получили новое фактор множество , элементами которого являются непересекающиеся классы фундаментальных последовательностей представителями которых являются фундаментальные последовательности пространства . Если фундаментальная последовательность сходится к точке , то и эквивалентная ей последовательность сходится к той же точке. Сходимость влечёт за собой существование предела , который и объявляется интегралом Лебега .

3.6. Конструкция интеграла Лебега

Пусть измеримое множество, на котором задана ограниченная и измеримая функция (функционал) .

1. Обозначив , а , назовём разбиением произвольное множество точек .

2. Пусть , а диаметр разбиения при фиксированном . При изменении или при выборе других точек разбиения диаметр разбиения будет меняться.

3. разбиение называется нормальным, если .

4. Лебеговым разбиением множества называется кортеж , где , а , если . Здесь .

5. Пусть произвольная точка элемента кортежа . Составим сумму интегральную сумму Лебега.

6. Число , если оно существует, называется определённым интегралом Лебега от ограниченной и измеримой функции , заданной на измеримом множестве , если для любой нормальной последовательности разбиений, любого выбора точек и и и .

Комментарий. Определение интеграла Лебега аналогично определению интеграла Римана, но только интегральные суммы составляются разбиением не области определения, а множества значений функции. Если у вас есть несколько конвертов денег, то пересчитать их можно или посчитав деньги в каждом конверте (метод Римана) или выложить их из конвертов и сгруппировать по купюрам (метод Лебега). Отсюда ясно, что функция, интегрируемая по Риману, будет интегрироваться и по Лебегу и интегралы будут совпадать. Обратное, вообще говоря, неверно. Для существования интеграла Римана необходимо и достаточно (теорема Дюбуа Раймона), чтобы множество точек конечного разрыва имело меру ноль. По Лебегу можно интегрировать и всюду разрывные функции. Например, функция Дирихле разрывна во всех иррациональных точках, то есть множество точек разрыва имеет меру один. Она не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу: . Для интеграла Лебега имеют место свойства, совпадающие с соответствующими свойствами интеграла Римана с точностью до формулировок.

Примеры.

1. Взять интеграл Лебега , если

2. Взять интеграл Лебега ,

3. Взять интеграл Лебега , если

4. Взять интеграл Лебега , где - канторов дисконтинуум, - его дополнение до всего отрезка.

5. Взять интеграл Лебега , где - канторов дисконтинуум, - его дополнение до всего отрезка.

6. Взять интеграл Лебега , , где - канторов дисконтинуум, - его дополнение до всего отрезка, а - неизмеримое множество.

7. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл Лебега от функции

на множестве , полученном удалением из отрезка интервалов .

Это множество есть объединение множества меры ноль, состоящего из точек 0 и 1, и сегментов , на каждом из которых функция интегрируема по Риману.

8. Взять интеграл Лебега , . _{Функция неотрицательна и непрерывна на своей области определения, то есть интеграл Лебега существует, если и только если существует соответствующий интеграл Римана. .}