3.4. Понятие измеримой функции

Определение 1. Если какое либо утверждение верно для любой точки множества за исключением, быть может, множества точек, имеющих меру ноль, то говорят, что это утверждение верно почти всюду.

Определение 2. Две функции и , заданные на одном и том же множестве , называются эквивалентными ,или если .

Пример 1. Функция Дирихле Так как множество рациональных чисел имеет меру ноль, то или .

Определение 3. Пусть некоторое множество, множество всех подмножеств множества , а алгебра. Вещественная функция называется измеримой, если при любом конечном множество (то есть множество тех , для которых ), принадлежит алгебре , то есть измеримо.

Пример 2. Пусть . Тогда , , .

Некоторые факты без доказательств.

1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима.

2. Вместо множества можно взять множества .

3. Пусть функция измерима, а измеримое подмножество . Тогда функция , рассматриваемая только для измерима.

4. Если измеримая функция, а , то также измерима.

5. Пусть функции и конечные измеримые функции, заданные на измеримом множестве . Тогда , измеримы.

6. Пусть функция измерима на множествах . Тогда она измерима на их объединении и пересечении .

Теорема (Критерий Лузина измеримости функций). Функция измерима на сегменте если и только если , непрерывная на сегменте , такая, что .

Комментарий. Критерий Лузина означает, что измеримые функции близки к непрерывным в том смысле, что любую из них можно сделать непрерывной, изменив её значения на множестве сколь угодно малой меры. Например, скачок

Пример 3. Функция Дирихле, определённая, например, на отрезке , измерима, так как при при а так как множество рациональных чисел имеет меру ноль, то в обеих случаях . Если а пустое множество имеет меру ноль.

Определение 4. Пусть на измеримом множестве задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций и измеримая и почти везде конечная функция . Если оказывается, что , то говорят, что последовательность функций сходится к функции по мере или (Обозначение Фихтенгольца).

Определение 5. Пусть на измеримом множестве задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций и измеримая и почти везде конечная функция . Если последовательность сходится к функции за исключением, быть может, множества точек, имеющих меру ноль, то говорят, что последовательность функций сходится к функции почти всюду или . Это так называемая поточечная сходимость.

Определение 6. Равномерная сходимость на множестве означает, что и обозначается или .

Комментарий. Ясно, что из равномерной сходимости следует сходимость почти всюду, потому, что равномерная сходимость это “сходимость всюду”. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако имеют место

Теорема (Егорова о сходимости почти всюду). Если на множестве конечной меры, то и вне подмножества .

Теорема (Лебега о сходимости почти всюду). Если , то .

Комментарий. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, имеет место

Теорема (Лебега о сходимости по мере). Из любой последовательности, такой, что , можно выделить подпоследовательность , такую, что .

Пример 4. Рассмотрим функциональную последовательность, заданную на отрезке . Здесь . Построим несколько членов этой функциональной последовательности. При . При этом , при и при . При . При этом , а последовательно на всех четвертушках отрезка . Ясно, что имеет место сходимость по мере, то есть , так как Но здесь нет сходимости почти всюду, так как последовательность не сходится ни в одной точке отрезка , то есть на множестве положительной меры. Выделим из неё подпоследовательность . Ясно, что почти всюду, кроме точки .

Пример 5. Из сходимости почти всюду не следует сходимость в среднем. Рассмотрим функциональную последовательность Последовательность множеств, на которых функциональная последовательность равна нулю монотонно возрастает и стремится ко всей прямой, за исключением точки ноль, то есть множества меры ноль. Это и есть, по определению, сходимость почти всюду. Однако в среднем эта функциональная последовательность к нулю не сходится, так как .

Пример 6. Из сходимости в среднем не следует сходимость почти всюду. Рассмотрим функциональную последовательность, заданную на отрезке . Здесь . Здесь нет сходимости почти всюду, так как последовательность не сходится ни в одной точке отрезка . Однако в среднем последовательность сходится к нулю, так как при можно записать, что. Но и .

Пример 7. Из сходимости по мере не следует сходимость в среднем. Рассмотрим функциональную последовательность, заданную на отрезке . Здесь . Как и в примере 4, здесь имеет место сходимость по мере, то есть , так как Тем не менее сходимости в среднем нет, так как .