Лекция № 8-9. Уравнения, неравенства и их системы в шкм
Цели лекции:
раскрыть базовые вопросы темы «Уравнения, неравенства и их системы» ШКМ: понятие уравнения (неравенства), системы уравнений (системы неравенств), совокупности уравнений (неравенств); определение корня уравнения (решения неравенства), решения системы уравнений (системы неравенств), решения совокупности уравнений (совокупности неравенств); понятие равносильности уравнений (неравенств) и их свойства; виды уравнений (неравенств) ШКМ и способы их решения; методы решения систем уравнений;
раскрыть базовые способы соблюдения равносильности уравнений и неравенств: применять только свойства равносильности; сохранять область определения и множество значений двух частей уравнения (неравенства);
выделить элементы математической культуры как компетенции: прием доказательства совпадения двух множеств; прием изложения идеи доказательства на конкретном примере; взаимосвязь понятий равносильность и следствие; способы сведения сложных уравнений к линейным и/или квадратным уравнениям;
раскрыть способы организации записей лекции как компетенции: обозначение подразделов в заголовке раздела; составление заголовков к разделам текста; использование двухэтажных записей для обозначения взаимосвязанных утверждений; использование таблицы не только для систематизации информации, но и для перевода фактов с одного языка на другой.
Задание
По формулировкам целей лекции сформулируйте вопросы, на которые предстоит ответить в лекции.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
План.
Основные понятия.
Виды уравнений (неравенств) и способы их решения.
Уравнения и неравенства с модулем.
Методы решения систем уравнений.
I. Основные понятия (основные определения; равносильность у и н).
Основные определения
Определение. Уравнением с одной переменной называется математическая запись, содержащая знак равенства и одну переменную, если ставится задача найти все значения переменной, при которых равенство становится верным числовым равенством.
Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное числовое равенство, называется ________________________.
Определение. Неравенством с одной переменной называется _________________ ___________, содержащая знак _____________ и одну переменную, если ставится задача найти все значения переменной, при которых неравенство становится верным числовым неравенством.
Значение переменной, при которой неравенство обращается в верное числовое неравенство, называется _________________________.
Определение. Системой уравнений с двумя переменными называется набор уравнений, если ставится задача найти все пары значений переменных, при которых каждое уравнение становится верным числовым равенством.
Для обозначения системы уравнений
используется знак:
.
Пара значений переменных, при которых каждое уравнение становится верным числовым равенством, называется решением системы уравнений.
Множество всех решений системы уравнений является _________________________ решений каждого из них.
Определение. Совокупностью уравнений с двумя переменными называется набор уравнений, если ставится задача найти все пары значений переменных, при которых хотя бы одно уравнение становится верным числовым равенством.
Для обозначения системы уравнений
используется знак:
.
Пара значений переменных, при которых хотя бы одно уравнение становится верным числовым равенством, называется решением совокупности уравнений.
Множество всех решений совокупности уравнений является _____________________ решений каждого из них.
Пример.
Дробь больше 0, если числитель и знаменатель одного знака. Возможны два случая: числитель и знаменатель положительны или числитель и знаменатель отрицательны.
С
оюз
«и» говорит о том, что мы имеем дело с
системой неравенств, союз «или» – с
совокупностью.
Ответ: (–; –5) (2; + )
Равносильность уравнений
Определение. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают, т.е. каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения.
Если два уравнения не имеют корней, то они считаются равносильными.
Аналогично определяется равносильность неравенств, систем и совокупностей.