1.10 Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Равны ли следующие множества:

1) и ;

2) и ;

3) и .

Ответы: 1) да; 2) нет; 3) нет.

Задача 2. На множестве натуральных чисел заданы предикаты:

; ; . Указать, какие множества они определяют.

Ответ: ; ; .

Задача 3. Пусть . Определить в явном виде (перечисление своих элементов) булеан – множество всех подмножеств, состоящих из элементов множества A. Какова мощность множества ?

Ответ. . Мощность .

Задача 4. Приведите примеры таких множеств A, B, K, для которых

1) , , ;

2) , , .

Ответы. В качестве примера множеств можно рассмотреть следующие множества:

1) , , ;

2) , , .

Задача 5. Пусть универсальное множество U – множество всех сотрудников некоторой фирмы; A – множество всех сотрудников данной организации старше 35 лет; B – множество сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; C – множество менеджеров фирмы. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ?

Ответ:

а) – множество сотрудников организации, стаж работы которых не превышает 10 лет.

б) – множество менеджеров фирмы не старше 35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет.

в) – множество всех сотрудников фирмы старше 35 лет, а также сотрудников, не являющихся менеджерами, стаж работы которых более 10 лет.

г) – множество сотрудников организации со стажем работы более 10 лет, не работающих менеджерами.

д) – множество менеджеров со стажем работы не более 10 лет.

Задача 6. Пусть , , , .

Найти множества:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) .

Ответ. a) ; б) ; в) ; г) ; д) ; e) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) .

Задача 7. Пусть ; ; ; . Найти множества:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .

Ответ. a) ; б) ; в) ; г) ; д) ; e) ; ж) ; з) .

Задача 8. Осуществить операции над множествами и .

Ответ: ; . Универсальное множество U не определено, поэтому, строго говоря, операции дополнения над множествами A и B не могут быть выполнены. Дополним условие. Пусть , тогда , , , .

Задача 9. Решить систему уравнений

где A, B, C – данные множества и .

Ответ. .

Задача 10. Построить диаграммы Венна, иллюстрирующие множества а) – л) из задачи 6.

Задача 11. Построить диаграммы Венна, иллюстрирующие множества а) – з) из задачи 7. Отметить точками внутри соответствующих областей диаграмм элементы исходных множеств U, A, B, C.

Задача 12. Докажите следующие тождества:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) .

Задача 13. В пунктах 1) и 2) докажите сформулированные утверждения. В пунктах 3) и 4) приведите контрпримеры, опровергающие эти утверждения.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задача 14. Упростить.

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) .

Задача 15. Какие из утверждений верны для всех A, B и С:

(а) если и , то ?

(б) если и , то ?

(в) если и , то ?

(г) если и , то ?

(д) если и , то ?

Ответ: (а) Неверно. Например, , , .

(б) Неверно. Тот же пример, что и в (а).

(в) Верно. Докажем от противного. Пусть ; тогда так, как , то . Но , а значит, . Это противоречит тому, что .

(г) Неверно. Например, возьмем .

(д) Неверно. Например, возьмем три попарно непересекающихся непустых множества.

Задача 16. Перечислите элементы множеств , :

1) , ;

2) , .

Ответ. 1) ;

;

2) , поскольку множество A пусто и мы не можем составить ни одной пары.

Задача 17. Пусть , . Найти множества , , , , изобразить их на координатной плоскости.

Задача 18. Пусть . Перечислите элементы множества .

Ответ: .

Задача 19. Пусть на плоскости задана декартова система координат. Изобразите на плоскости следующее множество:

,

где , , .

Задача 20. На множестве задано бинарное отношение . Нарисуйте граф данного бинарного отношения.

Задача 21. Для следующего бинарного отношения, определенного на множестве R, найдите область определения, область значений и нарисуйте декартову диаграмму

.

Ответ: , .