3. Дано:
Доказать:
Доказательство.
Пусть
Возможны два случая.
а)
Противоречие.
б)
Противоречие.
Задача 2. Доказать, что
Решение. Для доказательства 12 указанных утверждений достаточно доказать любую замкнутую цепочку из четырех утверждений вида
Доказательство.
а)
Пусть
б)
Пусть
по
определению объединения множеств;
в)
по
определению пересечения множеств;
Пусть
г)
Пусть
Задача 3. Верны ли следующие утверждения? Проиллюстрировать обоснование истинности (ложности) этих рассуждений диаграммами Эйлера-Венна.
Пояснение. Если можно построит диаграмму Эйлера-Венна, на которой изображены множества, удовлетворяющие заданным условиям, но заключение оказывается неверным, то рассуждение не является верным.
а)
Если
такие
подмножества универсума
,
что
и
то
Решение. Диаграмма Эйлера-Венна приведена на рис. 1.6. Рассуждение верно.
б)
Если
такие
подмножества универсума
,
что
и
то
Рис. 1.6. Диаграмма Эйлера-Венна
Решение. Диаграмма Эйлера-Венна приведена на рис. 1.7.
Рассуждение ложно.
Рис. 1.7. Диаграмма Эйлера-Венна
Задача
4. Пусть
,
,
,
.
Найти: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
Задача 5. Докажите следующие тождества:
1)
;
2)
.
Решение. Для доказательства равенства 1) докажем два включения:
,
.
Доказательство первого включения проведем по схеме:
,
а доказательство второго включения по схеме
.
Заметим,
что в данном примере мы могли рассмотреть
не две схемы, а одну, но вместо знака
следствия использовать знак равносильности
.
Для
равенства 2) проведем доказательство
от противного. Предположим противное,
что множество
не пусто, т. е. существует хотя бы один
элемент
.
Никакой элемент x не может одновременно принадлежать и самому множеству и его дополнению, поэтому мы пришли к противоречию.
Задача
6. Пусть
A,
B,
K
– такие множества, что
.
Найдите множество X,
удовлетворяющее системе уравнений
.
Решение.
Из первого уравнения следует, что
,
поэтому X
можно представить в виде
,
где
.
Из равенств
,
,
следует,
что
.
Итак, нам осталось найти множество
.
Заменим X
во втором уравнении на
.
Получим
.
По ассоциативному закону
.
Из включения
следует, что
,
поэтому получаем равносильное уравнение
.
Два факта
и
позволяют
заключить, что решением последнего
уравнения является множество
.
Окончательно
.
Задача
7.
Представить
множество
диаграммой Венна.
Решение. Начнем с общей диаграммы, показанной на рис. 1.8, а.
Заштрихуем
B
диагональными линиями в одном направлении,
а
–
в другом (рис. 1.8, б).
а)
б)
в)
Рис. 1.8. Диаграммы Эйлера-Венна
Площадь
с двойной штриховкой представляет
собой их пересечение, т. е. множество
линиями одного направления, а A
– другого. Вся заштрихованная на рис.
1.8, в область представляет объединение
множеств A
и
,
т. е. множество
.
Обведем искомую область также жирной
линией.
Задача 8. Проиллюстрировать на конкретных множествах и с помощью диаграммы Венна справедливость соотношения
(свойство
дистрибутивности слева операции
пересечения
относительно объединения
).
Решение.
Пусть
.
,
,
.
Тогда левая часть равенства
;
правая
часть равенства
.
Таким образом, левая и правая части соотношения совпадают,
т.е. равенство подтверждено. Построим теперь диаграммы Венна. Левая часть равенства представлена на рис. 1.9, а, правая – на рис. 1.9, б. Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей иллюстрируемого соотношения.
а)
б)
Рис. 1.9. Диаграммы Эйлера-Венна
Задача 9. Доказать справедливость соотношения
(свойство
дистрибутивности справа пересечения
относительно объединения
).
Доказательство.
Множества
,
если
и
.
Поэтому покажем сначала, что
,
т. е. любой произвольный элемент
из множества, заданного левой частью
соотношения, принадлежит и множеству,
заданному правой частью соотношения.
Пусть
.
Тогда
и
или
)
и
и
или
и
или
.
Таким образом, .
Покажем
теперь, что
,
т. е. любой элемент
из множества, заданного правой частью
исходного соотношения, принадлежит и
множеству, заданному левой частью
исходного соотношения.
Пусть
.
Тогда
или
или ) и
и
.
Следовательно,
.
Таким
образом,
,
что и требовалось доказать.
Задача 10. Доказать справедливость соотношения
(свойство дистрибутивности слева объединения относительно пересечения ).
Доказательство. Такое доказательство может быть выполнено с помощью диаграмм Венна (см. пример задачу 8). Здесь для этих целей используем один из приемов доказательства равенства двух множеств.
В
соответствии с определением равенства
множества равны, т. е.
,
если их элементы совпадают. Это означает,
что
,
если из того, что
,
следует
,
и из того, что
,
следует
.
Покажем
сначала, что если произвольный элемент
принадлежит левой части соотношения,
т. е.
,
то он принадлежит и правой части данного
соотношения, т. е.
.
Пусть
1. .
Из
определения операции объединения
следует, что элемент
принадлежит объединению множеств
и
,
если он принадлежит хотя бы одному из
них (или, что очевидно, тому и другому).
Таким образом,
или
,
при этом возможны следующие случаи:
1.1.
принадлежит множеству
и
не принадлежит пересечению множеств
:
и
.
Последнее
условие выполняется, если
не принадлежит
,
или
,
или им обоим, т. е.
1.1.1.
,
,
;
1.1.2.
,
,
;
1.1.3. , , ;
1.2.
и
,
т. е.
,
,
;
1.3. и , т. е. , , .
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1.1.
Так как
,
то
принадлежит объединению множества
с любым множеством, в том числе
и
;
следовательно,
принадлежит и их пересечению:
.
1.2. Так как , , то и , следовательно,
.
1.3. Так как , то этого достаточно, чтобы и , следовательно,
.
Таким образом, в любом из рассмотренных случаев из того, что , следует, что .
Покажем
теперь справедливость второго условия
определения равенства множеств: если
произвольный элемент
не принадлежит левой части соотношения
,
то он не принадлежит и правой части
данного соотношения
.
Пусть теперь:
2. .
Элемент не принадлежит объединению двух множеств, если он не принадлежит ни одному из них. Тогда и , т. е. возможны следующие случаи:
2.1. , , ;
2.2. , , ;
2.3. , , .
Рассмотрим каждый из этих случаев:
2.1.
Так как
,
,
то
,
следовательно,
.
2.2.
Так как
,
,
то
,
следовательно,
.
2.3. Так как , , то этого достаточно, чтобы и, следовательно,
.
Как видим, в любом из этих случаев из того, что , следует, что .
Таким
образом, множества
и
совпадают и по определению равенства
множеств
,
что и требовалось доказать.
Примечание. В данной задаче проверка условий 1.1.3 и 2.3 вообще говоря избыточна.
Задача
11.
Доказать,
что относительно данного универсального
множества
дополнение любого множества
,
если
,
единственно.
Доказательство. Для доказательства единственности дополнения множества предположим, что существуют два множества и в , каждое из которых удовлетворяет требованиям дополнения множества , т. е. их пересечение с пусто, а объединение с дает :
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Очевидно,
что
.
С учетом условия г)
.
Тогда по доказанному выше (см. задачу
8)
,
но с учетом условия a)
,
т. е.
.
Поэтому
и
и
.
Очевидно, что , отсюда следует, что .
В то же время (с учетом условий в), б), а также в соответствии с доказанной выше задачей 8):
.
Поэтому
и
и
.
Отсюда следует, что .
Таким
образом,
и
,
откуда
.
Следовательно,
и
– единственно, что и требовалось
доказать.
Задача
12. Пусть
даны множества
,
,
такие, что
и
,
,
– попарно не пересекаются. Доказать,
что
,
,
.
Доказательство.
Докажем, что
.
По условию, , , – попарно не пересекаются, т. е.
a)
;
б)
;
в)
,
кроме того,
г)
,
т. е.
.
Согласно доказанному в задаче 8,
,
где в соответствии с условиями a), б):
.
Таким
образом,
.
Итак,
пересечение
и
пусто, а их объединение по условию г)
составляет универсальное множество
:
;
.
Следовательно,
удовлетворяет условиям для
,
которое единственно (в соответствии с
доказанным в задаче 8). Поэтому
,
что и требовалось доказать.
Аналогично
доказывается
и
.
Задача
13. Доказать,
что для произвольных множеств
и
имеет место соотношение
.
Доказательство.
Отметим
вначале, что если
,
то
,
и проведем доказательство от противного,
т. е. допустим, что
и
.
Тогда
1.
если
,
то
.
С другой стороны,
2.
существует элемент
такой, что
и
и
.
Но тогда с учетом (1)–(2):
и
и
(противоречие).
Следовательно,
предположение
ложно и поэтому
,
т. е.
.
Аналогично
можно показать, что
и, значит,
,
что и требовалось доказать.