1.8.2 Бинарные отношения

Пусть и два произвольных множества.

Определение. Бинарным отношением из множества в множество называется всякое подмножество прямого произведения на ; если то говорят о бинарном отношении на множестве Обозначение:

Тогда это универсум

Пример 1.8.2. Пусть

Положим

Используют две формы записи принадлежности некоторой упорядоченной пары заданному бинарному отношению инфиксную и префиксную. Инфиксная форма записи: префиксная форма записи:

Приведем еще несколько примеров бинарных отношений.

Пример 1.8.3. На множестве натуральных чисел определим бинарное отношение так:

Тогда но

Пример 1.8.4. На множестве вещественных чисел определим бинарное отношение <(меньше) по правилу .

Тогда

Пример 1.8.5. На множестве людей определим бинарное отношение по правилу:

Тогда, если Иван – брат Анны, то (Иван, Анна) , но (Анна, Иван)

Пример 1.8.6. Пусть определяется так

( знак целой части числа ).

Тогда

Пример 1.8.7. Пусть булеан некоторого множества . На булеане определим бинарное отношение (отношение включения) по правилу .

По аналогии с бинарным отношением вводится понятие арного отношения, как подмножества прямого произведения множеств,

Бинарное отношение , заданное на конечном множестве X, можно задать в виде графа, а бинарное отношение на множестве можно задать в виде декартовой диаграммы. Под графом бинарного отношения мы понимаем схему, в которой элементы множества X изображаются точками на плоскости, элементы , такие, что пара соединяются стрелкой, направленной от x к y, пары изображаются петлей вокруг точки x. Под декартовой диаграммой понимают изображение пар в декартовой прямоугольной системе координат.

Определение. Областью определения бинарного отношения называется множество

.

Определение. Областью значений бинарного отношения называется множество

.

Определение. Множество точек плоскости, координаты которых образуют упорядоченные пары некоторого бинарного отношения , называется графиком бинарного отношения.

Пример 1.8.8. Пусть График этого отношения приведен на рис. 1.2.

Рис. 1.2. График

Пусть График этого отношения приведен на рис. 1.3.

Рис. 1.3. График

Так как бинарные отношения – это множества, их можно объединять и пересекать (и выполнять над ними любые другие теоретико-множественные операции).

Построим график бинарных отношений и .

график на рис. 1.4.

график на рис. 1.5.

Рис. 1.4. График Рис. 1.5. График

1.9 Примеры решения задач

Задача 1. Пусть Доказать, что справедливы следующие утверждения:

1. Если для всякого множества верно, что то

2. Если для всякого множества верно, что то

3. Если верно, что то

Решение.

1. Дано: для всякого множества

Доказать:

Доказательство. Пусть

Положим

Получено противоречие.

2. Дано: для всякого множества

Доказать:

Доказательство. Пусть

Положим Получено противоречие.