1.6 Диаграммы Эйлера-Венна

На диаграммах Эйлера-Венна универсум изображается прямоугольником или квадратом, а множества – областями внутри универсума. Проиллюстрируем диаграммами Эйлера-Венна введенные определения (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Диаграммы Эйлера-Венна

1.7 Свойства операций над множествами

Пусть Каковы бы ни были заданные подмножества универсума справедливы соотношения:

1. Идемпотентность.

2. Коммутативность.

3. Ассоциативность.

4. Дистрибутивность.

5. Законы поглощения.

6. Свойства нуля.

6. Свойства единицы.

6. Инволютивность.

6. Законы де Моргана.

10.

Доказательство этих равенств большей частью совершенно элементарно.

В качестве примера приведем доказательство одного из законов де Моргана.

Утверждение.

Доказательство. Пусть

Пусть

Утверждение.

Доказательство. Пусть

Пусть

Законы коммутативности и ассоциативности легко распространяются на случай объединения (пересечения) любого конечного числа множеств. Именно, в какой бы последовательности ни объединялись (пересекались) данные множества в результате получается одно и то же множество, которое обозначается объединение состоит из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из данных множеств (пересечение содержит те и только те элементы, которые входят во все множества одновременно). Запишем обобщение законов дистрибутивности и де Моргана:

;

.

Доказательство проводится, например, методом математической индукции.

1.8 Отношения на множествах. Бинарные отношения

1.8.1 Упорядоченные пары и прямое произведение множеств

Пусть и два произвольных объекта.

Определение. Упорядоченной парой называют такой набор этих объектов, в котором имеет номер 1, а номер 2.

Значит, если , то , так как в упорядоченной паре объект имеет номер 1, а объект номер 2.

Упорядоченная -ка – это набор из объектов , в котором первый объект, второй,…, энный. Далее в качестве разделителя элементов упорядоченной -ки будем использовать не только запятую, но и точку с запятой, считая эти разделители равнозначными.

Определение. Прямым (декартовым) произведением множеств и (обозначение ) называется множество упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит первому множеству, а второй – второму.

Соответственно

В общем случае

Пример 1.8.1. Пусть Тогда

По аналогии с прямым произведением двух множеств определим прямое произведение множеств как множество вида

Обозначение

Утверждение.

Если , то

Доказательство. Чтобы составить упорядоченную пару, нужно выполнить два действия: выбрать первый элемент пары; выбрать второй элемент пары. Первое действие выполняется способами, если выбирать из множества , и способами, если выбирать из множества Второе действие можно выполнить способами, если элемент выбирается из множества , и способами, - если из множества Поэтому