1.4 О парадоксах теории множеств

Теория множеств является универсальным фундаментом для всего здания математики. Область исследования каждой математической дисциплины можно представить в виде набора множеств заданной структуры. Однако неограниченное, свободное использование понятий канторовской теории множеств порождает парадоксы.

Парадоксы и противоречия в теории множеств возникают при переход от конечных множеств, содержащих конечное число элементов, к бесконечным. Понятие бесконечности до сих пор во многом таинственно. Рассмотрим два таких парадокса.

Парадокс Рассела (Бертран Артур Уильям Рассел (1872-1970) – английский математик).

Обозначим через множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своих элементов. Это множество, во всяком случае, не конечно.

Допустим, что Но тогда, по определению должно быть

Допустим, что Но тогда, по определению , должно быть

Получено противоречие (парадокс).

Парадокс Кантора (Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик). Пусть это множество всех множеств (снова бесконечное множество) и его булеан. Тогда Доказано, что если и бесконечные множества и если то и что (теорема Кантора). Таким образом, с одной стороны С другой стороны, Снова получено противоречие.

Однозначного ответа на вопрос, как избежать парадоксов, не существует и сегодня. Ясно, что парадокс возникает, если никак не ограничивать свободу конструирования множеств (свободу выбора характеристического предиката).

Множество из парадокса Рассела описывается характеристическим предикатом

Множество из парадокса Кантора описывается характеристическим предикатом

Следовательно, можно попытаться избежать противоречий, если ограничить себя рассмотрением множеств, которые разрешены определенным списком аксиом. Эти аксиомы сформулированы так, что известные парадоксы из них не выводятся. Таких списков аксиом предложено несколько. В системе аксиом, предложенной Э. Цермело (Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело (1871-1953) – немецкий математик) и затем расширенной А. Френкелем (1891-1965) – израильский математик, которая носит название системы аксиом Цермело – Френкеля (ZF), принцип абстракции заменяется аксиомой выделения:

«Для любого множества и предиката имеющего смысл для всех элементов множества (т.е. такого, что для любого утверждение либо истинно, либо ложно), существует множество состоящее из тех же элементов для которых истинно».

Эта аксиома разрешает создавать множество только из элементов уже имеющегося множества что исключает построение как множества из парадокса Рассела, так и множества из парадокса Кантора.

1.5 Основные операции над множествами

Определение. Объединением (суммой) двух множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств.

Еще будем писать так:

В устной или письменной речи операцию объединения описывают союзом или.

Непосредственно из определения операции объединения следует справедливость и такого утверждения: если то элемент принадлежит объединению множества со всяким другим множеством Будем писать так:

Из определения операции объединения следует, что если то этот элемент не может входить ни в одно из двух множеств и то есть

Пример 1.5.1. Пусть

Тогда

Пусть

Тогда

Определение. Пересечением (произведением) (или или ) двух множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам:

По-другому будем писать так:

В устной или письменной речи операцию пересечения описывают союзом и.

Таким образом, чтобы элемент не принадлежал пересечению необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал хотя бы одному из двух множеств, т.е.

Пример 1.5.2. Пусть

Тогда

Пусть

Тогда

Определение. Два множества называются непересекающимися, если

Определение. Пусть семейство множеств каждое из которых включено во множество Семейство называется покрытием множества если всякий элемент множества входит хотя бы в одно множество семейства Таким образом,

Пример 1.5.3. Пусть Тогда семейства

это покрытия множества

Определение. Покрытие называется разбиением множества если всякий элемент множества принадлежит ровно одному множеству семейства Таким образом, и если

Пример 1.5.4. Пусть Тогда семейства

образуют разбиения множества

Определение. Разностью множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству :

Иная запись:

Из этого определения следует, что тогда и только тогда, когда или

Итак,

Пример 1.5.5. Пусть

Тогда

Пусть

Тогда

Итак, если то так как во множестве нет ни одного элемента, который не входил бы в множество

Обратно, если так как каждый элемент множества принадлежит и

Определение. Симметрической разностью (или ) множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат ровно одному из данных множеств.

Или так:

Но тогда

Пример 1.5.6. Пусть

Тогда

Пусть Тогда

Таким образом,

Определение. Дополнением ( ) множества до универсума называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат

Иная запись:

В устной речи операция дополнения соответствует частица не.

Пример 1.5.7. Пусть Тогда Таким образом

Утверждение.

Доказательство. Докажем, что множество состоят из одних и тех же элементов. Используя понятие подмножества, можно сказать, что и (множества и состоят из одних и тех же элементов).

а. Пусть

б. Пусть