Введение
Дискретная математика и логика лежит в основе любого современного изучения информатики. Слово «дискретный» означает «составленный из отдельных частей», а дискретная математика имеет дело с совокупностями объектов, называемых множествами, и определенными на них структурами. Элементы этих множеств, как правило, изолированы друг от друга и геометрически не связаны. Действительно, большинство интересующих нас множеств конечны или, по крайней мере, счетны.
С развитием программирования стало ясно, что изучение дискретной математики – важная составная часть образования специалистов в компьютерных дисциплинах. Курс дискретной математики преследует две основные цели. Первая заключается в том, чтобы познакомить студентов с содержательными математическими структурами, которые естественно описывают большую часть содержания компьютерных дисциплин, включая те структуры, которые часто используются при моделировании и решении задач программирования. Вторая – помочь студентам развить умение рассуждать математически, чтобы освоить новые понятия и темы компьютерных дисциплин. Это умение нужно не только во время обучения, но и после его завершения, в процессе профессиональной деятельности.
Принятые обозначения.
Знак
«
»
заменяет собой слово «следовательно».
Утверждается, что высказывание справа
от стрелки, истинно, если только истинно
высказывание, записанное слева от нее.
Знак
«
»
служит подсказкой того, что нужно
воспользоваться некоторым определением
(от английского слова definition
(определение)), каким именно, следует
из контекста.
Знак
«
»
говорит о том, что необходимо обратить
внимание на заданные дополнительные
условия (от англ. it
is
given
(дано)).
Знак
«
»
заменяет слова «тогда и только тогда».
Запись
вида
есть
сокращенная запись утверждения «для
всякого элемента
множества
верно,
что этот элемент принадлежит множеству
и не принадлежит множеству
».
Знак «:» здесь заменяет слова «верно,
что».
Запись
вида
есть сокращенная запись утверждения
«во множестве
существуют
такие элементы
что
элемент
принадлежит
множеству
а
элемент
этому множеству не принадлежит. Здесь
знак «:» заменяет слова «такие, что».
1 Теория множеств
Определение
множества Георгия Кантора: «Под
множеством мы понимаем любое объединение
в одно целое
определенных
вполне различаемых объектов
нашего
восприятия или мысли (которые называются
«элементами»
)».
Однако такое определение иногда приводит к парадоксам, которые делают теорию противоречивой. О некоторых из них мы поговорим ниже. Канторовскую теорию множеств в том виде, в котором она исторически сложилась и в котором она порождает парадоксы, называют «наивной» теорией множеств. В дальнейшем мы согласимся с канторовским определением множества, и будем руководствоваться интуитивными представлениями о понятиях «объединение», «различаемость», «индивидуальный объект», «единое целое» и т.д.