2.3 Комбинаторные формулы

Введем несколько определений и вспомогательных терминов. Предположим, что мы берем элементы из множества мощности . Каждый такой набор принято называть выборкой объема из элементов или выборкой.

Выборка называется упорядоченной, если порядок следования в ней задан. При этом две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются разными. Если же порядок следования элементов в выборке не имеет значения, то выборка называется неупорядоченной.

В зависимости от того, могут или не могут элементы выборки повторяться, ее называют выборкой с повторениями или выборкой без повторений. Упоминание об отсутствии повторений часто опускают, в то время как допустимость повторений элементов в выборке всегда специально оговаривается.

2.3.1 Перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями

Определение. Перестановкой данных элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов, место элементов в наборе имеет значение.

Число различных перестановок элементов обозначается Выведем формулу подсчета числа для чего воспользуемся принципом умножения.

Чтобы определить перестановку данных различных элементов, нужно выполнить одно за другим действий:

• выбрать первый элемент перестановки ( способов);

• указать второй элемент ( способ);

• ……………………………………………;

• Назвать последний элемент перестановки (один способ).

Эти действия выполняются независимо одно от другого.

В силу принципа умножения число определяется формулой (2.3):

(2.3)

Пример 2.3.1. Из трех элементов можно составить разных перестановок:

Определение. Размещением, содержащим различных элементов, выбранных из имеющихся, называется любой упорядоченный набор различных элементов, отобранных из имеющихся различных элементов.

Число различных размещений обозначается символом . Выведем формулу его подсчета.

Чтобы составить размещение, нужно выполнить одно за другим и независимо одно от другого действий:

• назвать первый элемент размещения ( способов);

• указать второй элемент ( способ);

• …………………………………………;

• указать й, последний, элемент ( способов);

В соответствии с принципом умножения

(2.4)

Размещениями с повторениями из n элементов по k называют кортежи длины k, составленные из элементов множества Х, содержащего n элементов (или, как кратко говорят, n-множества).

Число таких размещений выражается формулой

. (2.5)

Пример 2.3.2. Из букв можно составить 12

( )

размещений из двух букв: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC.

Определение. Сочетанием, содержащих различных элементов, выбранных из имеющихся разных элементов, называется любой неупорядоченный набор, содержащий различных элементов, отобранных из данных разных элементов.

В неупорядоченном наборе порядок перечисления не важен.

Число разных сочетаний из элементов по элементов обозначается символом Выведем формулу подсчета

Любому неупорядоченному набору (сочетанию) содержащему разных элементов, можно поставить в соответствие упорядоченных наборов (перестановок) этих элементов.

Таким образом,

(2.6)

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Некоторые свойства биномиальных коэффициентов:

1. 2. 3.

4. 5.

6.

Пример 2.3.3. Из букв можно составить 10

( ) разных сочетаний по три буквы:

Подчеркнем, что сочетание тождественно сочетанию Но перестановки и различны.