2.2 Принципы подсчета

Основу большинства методик подсчета составляют два принципа. Первый из них называется принципом умножения и используется для подсчета элементов, которые можно различными способами выбирать независимо друг от друга.

С такой ситуацией мы сталкиваемся, например, подсчитывая число способов заказать обед, состоящий из закуски, основного блюда и десерта. Второй принцип называется принципом сложения и используется для подсчета элементов в множестве, которое можно разбить на два непересекающихся подмножества. Такая ситуация возникает, например, при подведении итогов выборов президента страны, когда складываются результаты разных регионов.

Рассмотрим два несложных примера, связанные простым пересчетом.

Пример 2.2.1. В небольшой кондитерской к концу рабочего дня осталось несколько пирожных: четыре ванильных, два шоколадных и три фруктовых. Один покупатель собирается купить пирожные перед закрытием кондитерской. Сколько пирожных может выбрать покупатель?

Решение. Эта задача решается простым подсчетом. Поскольку все пирожные различны, можно просто сложить их количества. Это дает 4+2+3=9 пирожных, из которых покупатель может сделать выбор.

Пример 2.2.2. Необходимо выбрать смешанную команду, которая будет представлять институт на городских соревнованиях по теннису. В составе секции 6 студенток и 9 студентов. Сколько различных пар можно выбрать для участия в соревнованиях.

Решение. В этой задаче у нас есть 6 студенток, из которых мы можем выбрать представительницу института, и для каждой из них мы можем подобрать партнера среди студентов. Таким образом, общее число различных пар, которые мы можем составить, равно

2.2.1 Принцип умножения

При подсчете различных пар, представляющих смешанную команду для участия на городских соревнованиях мы пользовались принципом умножения.

Принцип умножения

Пусть Если процедура выбора состоит из последовательных и независимых шагов, причем на первом шаге имеется возможностей выбора, на втором возможностей, …, а на м шаге возможностей, то общее число всех возможностей выбора равно

(2.1)

Пример 2.2.3. У человека имеются 3 рубашки, 2 галстука и 2 пары ботинок. Он признаёт любое сочетание этих элементов. Сколькими способами он может одеться?

Решение. Прежде чем применять принцип умножения, мы должны выделить все шаги процедуры выбора и число возможностей для каждого шага. Мы должны также убедится, что любой шаг процедуры не зависит ни от каких других ее шагов. В данном случае независимость очевидна, а шаги следующие: выбор рубашки, выбор галстука и выбор ботинок. Для первого шага имеется три возможности, для второго – 2, для третьего – 2 возможности.

Поэтому в силу принципа умножения способами.

2.2.2 Принцип сложения

Еще с одним принципом подсчета мы сталкиваемся, когда выбираем из взаимоисключающих возможностей. Для задачи 1 существует 4 способа выбрать ванильное пирожное, 2 способа выбрать шоколадное пирожное и 3 способа выбрать фруктовое пирожное. Поскольку эти множества способов не пересекаются, то всего этих способов имеется 4+2+3=9. Общее число возможных вариантов – это просто сумма чисел элементов в каждом из непересекающихся множеств.

Для решения этой задачи был использован принцип сложения.

Принцип сложения

Если имеется набор непересекающихся множеств, причем в первом из них элементов, во втором элементов, а в м элементов, то число возможностей сделать выбор равно

(2.2)

Пример 2.2.4. Сколько имеется способов выбрать девятку, или карту красной масти сильнее девятки, или карту черной масти слабее шестерки из стандартной колоды карт? (Стандартную колоду будем считать состоящей из 52 карт)

Решение. Варианты выбора можно представить в виде трех непересекающихся множеств, как показано на рис. 2.1.

9 треф	10 бубен	5 треф
9 бубен	Валет бубен	4 треф
9 червей	Дама бубен	3 треф
9 пик	Король бубен	2 треф
	Туз бубен	5 пик
	10 червей	4 пик
	Валет червей	3 пик
	Дама червей	2 пик
	Король червей
	Туз червей

Рис. 2.1 Выбор карты

Согласно принципу сложения, имеется 4+10+8=22 способа выбора.