1.6. Исследование функций и построение их графиков

Изложим схему исследования.

1. Найти область определения функции; определить, четная она или нечетная. Если f(x) = f(-x), т.е. функция четная, то достаточно исследовать ее для полуоси х  0, а для х  0 зеркально отобразить ее график относительно оси ординат, как показано на рис.1.10.

Если f(x) = - f(-x), т.е. функция нечетная, то она исследуется для х  0 , а затем для х  0 ее график отображается дважды: сначала относительно оси ординат, а затем – в левой полуплоскости относительно оси абсцисс, как показано на рис.1.11.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Дело сводится к решению уравнения y = f(x) = 0 и нахождению его корней, а также к вычислению значения y₀ = f(0).

3. Найти асимптоты функции. Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Вертикальные асимптоты: прямые вида х =х₀ , где х₀ определяются из условия ;

Горизонтальные асимптоты: прямые вида y = y₀ , где y₀ определяется из условия ;

Наклонные асимптоты имеют вид: y = kx + b (k  0) , где = , .

На рис. 1.12. вертикальная асимптота имеет вид х = 0 (ось ординат); горизонтальная асимптота имеет вид y = 1 при х  - ; наклонная асимптота имеет вид луча ОМ, для которого b = 0, при х  + . Функция f не является ни четной, ни нечетной.

4. Найти точки локальных экстремумов функции. Для этого требуется решить уравнение f'(x) = 0 и убедиться, что для его корней вторая производная отлична от 0, т.е. , если .

5. Найти точки перегиба функции. Это точки, в которых вторая производная обращается в 0, т.е. .

6. Исследовать знаки первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремумов, точки перегиба. Построить вспомогательный график.

Функция убывает (возрастает) на некотором интервале, если ее первая производная отрицательна, f'(x) < 0 (положительна, f'(x) > 0). График функции выпуклый вверх на некотором интервале, если f''(x) < 0, т.е. вторая производная отрицательна (соответственно, вниз, если f''(x) > 0). Точки локальных экстремумов определяются из условия f'(x₀) = 0, f''(x₀)  0. Знак второй производной определяет характер экстремума (максимум или минимум). Точка перегиба определяется условием f''(x₀) = 0, f'''(x₀)  0. При построении вспомогательного рисунка надо следить за согласованностью результатов исследования функции.

7. Построить график функции, учитывая результаты исследования. Здесь учитываются все результаты, в том числе четный или нечетный характер функции. График строится с той степенью точности, которая характеризует качественное поведение функции. Точно указываются лишь параметры асимптот, точки пересечения с осями координат, точки локальных экстремумов и их значения, точки перегиба. Возрастание или убывание функции, направление выпуклости отображается приближенно, с точным указанием лишь границ интервалов, на которых функция возрастает или убывает, выпукла вверх или вниз.

Пример 1.9.

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции совпадает с действительной отрицательной полуосью, т.е. {x: x  0}. Функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Точка (0, 0) очевидна; решаем уравнение х²- = 0. Оно имеет единственный действительный корень, отличный от 0, он равен – 1; следовательно, график пересекает ось абсцисс также в точке – 1.

3. Ни для одного х₀, х₀  0, функция не имеет бесконечного предела, т.е. вертикальных асимптот нет. Поскольку , то нет и горизонтальных асимптот. Отсутствует также и наклонная асимптота, поскольку .

4. Вычисляем первую и вторую производные.

; ;

Уравнение y' (x) = 0 имеет единственное действительное решение х = ; при этом , что соответствует локальному минимуму. Его значение равно .

5. Критических точек, соответствующих решению уравнения y'' (x) = 0, нет.

6. Первая производная в интервале (-, ) отрицательна, в интервале ( , 0) – положительна. Следовательно, функция в интервале (-, ) убывает, в точке достигает своего локального минимума , затем в интервале ( , 0) растет, достигая значения y(0) =0 с производной (односторонней) y'(0) = +, т.е. график входит в точку 0 вертикально. При этом график на всей области определения выпуклый вниз, причем строго, поскольку вторая производная на всем интервале (-,0) положительна.

7. С учетом вышеизложенного вид графика приведен на рис. 1.13.