5.4. Условная вероятность. Независимые события

Если P(A)>0, то

P_A(B) = называют условной вероятностью события B при условии A.

Другое обозначение P_A(B)  – P(B/А). 

Смысл условной вероятности в том, что получение добавочной информации может изменить значение вероятности тех или иных результатов испытания. Наличие определенной информации о результате испытания означает, что вместо всего множества исходов надо брать его часть.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого, т.е. если P(B) = P_A(B) и P(A) = P_B(A).

Если события A и B независимы, то вероятность их одновременного осуществления равна произведению их вероятностей: P(AB)=P(A)P(B).¹

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB) = P(A) P_A(B). 

Пример 5.7.

В одном сосуде 3 белых и 5 черных шаров. В другом – 7 белых и 6 черных. Достаем по одному шару из каждого сосуда. Какова вероятность вынуть два белых шара?

Решение

Вероятность вынуть белый шар из первого сосуда равна 3/8 (всего 8 шаров, из них 3 белых).

Вероятность вынуть белый шар из второго сосуда – 7/13.

Поскольку шары вынимаются из сосудов независимо, то вероятность одновременно вынуть белый шар из первого и белый шар из второго сосудов равна произведению этих вероятностей – 3/8  7/13=21/104. 

5.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Теорема о полной вероятности: Если событие A может произойти только при условии появления одного из событий H₁, ..., H_n , образующих разбиение пространства элементарных событий, то вероятность события A равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события A:



События Н₁, ..., Н_n называют гипотезами.

Доказательство:

На рис. 5.1 представлено разбиение пространства элементарных событий  событиями H₁, ..., H_n.


H1	H2 A	…	Hn

Рис. 5.1.

Представим А в виде А H₁  А H₂ … А H_n.

Поскольку события H₁, ..., H_n образуют разбиение пространства элементарных событий , то H_i  H_j =, если ij, i, j = 1, 2, …, n.

Значит, и (АH_i ) (АH_j) = , если ij, i, j = 1, 2, …, n.

Тогда Р(А) = Р(А H₁  А H₂ … А H_n) = Р(А H₁) + Р(А H₂) +… Р(А H_n).

Но , следовательно, .

Пример 5.8.

Организация приобрела 20 компьютеров у первой фирмы, 30 – у второй и 50 – у третьей. Вероятность того, что в течение года компьютер придется ремонтировать, составляет 0,01 для поставки первой фирмы, 0,03 – для второй и 0,05 – для третьей. Какова вероятность, что компьютер потребует ремонта в течение года?

Решение

Пусть Н₁ – компьютер приобретен у первой фирмы, Н₂ – у второй, Н₃ – у третьей. А – компьютер пришлось ремонтировать.

По формуле полной вероятности:

Р(Н₁)= 20/(20+30+50)=0,2.

Р(Н₂)= 30/(20+30+50)=0,3.

Р(Н₃)= 50/(20+30+50)=0,5.

По условию:

 – вероятность того, что компьютер потребовал ремонта, если он был приобретен у первой фирмы = 0,01.

 – вероятность того, что компьютер потребовал ремонта, если он был приобретен у второй фирмы = 0,03.

 – вероятность того, что компьютер потребовал ремонта, если он был приобретен у третьей фирмы = 0,05.

Значит, Р(А) = 0,20,01+0,30,03+0,50,05 = 0,002+0,009+0,025=0,036. 

Формула Байеса:

Смысл этой формулы заключается в следующем.

Если существуют попарно исключающие друг друга гипотезы Н₁, ..., Н_n , охватывающие все возможные случаи, и если известны вероятности события А при каждой из этих гипотез, то по этой формуле можно найти вероятность справедливости гипотезы Н_k при условии, что произошло событие А. Таким образом, наступление события A дает нам новую информацию, благодаря которой можно найти условные вероятности гипотез (P_A(Н_k), k=1, 2, …, n). Такой подход, позволяющий проверять и корректировать после испытания выдвинутые предварительно гипотезы, называется байесовским.

Пример 5.9.

Если в условиях Примера 5.8 компьютер потребовал ремонта, то какова вероятность, что он был приобретен у третьей фирмы?

Решение

Пусть, как и в Примере 5.8, Н₁ – компьютер приобретен у первой фирмы, Н₂ – у второй, Н₃ – у третьей. А – компьютер пришлось ремонтировать.

Запишем формулу Байеса применительно к нашей задаче:

P(Н₃/А)= P(Н₃) P (A/Н₃) / (P (Н₁)P (A/ Н₁)+ P(Н₂)P (A/Н₂) + P (Н₃)P (A/Н₃))

Подставим в эту формулу вычисленные в Примере 5.8 значения вероятностей: Р(Н₁), Р(Н₂), Р(Н₃), P (A/Н₁), P (A/Н₂), P (A/Н₃):

P(Н₃/А)=0,50,05/(0,20,01+0,30,03+0,50,05)=0,025/(0,002+0,009+0,025)=0,025/0,036 0,694.