Характеристики распределения св

Для решения многих задач не обязательно иметь полную информацию о случайной величине, доставляемую ее распределением. В большинстве случаев достаточно знания лишь отдельных характеристик этого распределения. Основными характеристиками служат математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание

Математическое ожидание (обозначается буквой М) характеризует среднее значение случайной величины.

Математическое ожидание дискретной СВ X, значения которой x₁,x₂,... имеют вероятности соответственно p₁, p₂, ..., есть сумма произведений значений СВ на их вероятности: МX = _.

Математическое ожидание непрерывной СВ X есть определенный интеграл МX = .

Пусть a – константа (постоянная), X, Y – случайные величины.

Свойства мо:

1. М a = a (Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной).

2. М(X+Y)=МX+МY (Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий).

3. М(аX) = аМX (Математическое ожидание произведения случайной величины на постоянную равно произведению этой постоянной на математическое ожидание случайной величины).

Дисперсия

Дисперсия (обозначается буквой D) характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Дисперсия DX случайной величины X определяется по формуле DX=М(X – МX)² .

Для вычисления дисперсии чаще используется формула DX=МX² – (МX)²

Свойства дисперсии:

1. D(а)= 0. (Дисперсия постоянной равна 0).

2. D(X + а)= D(X)

3. D(аX )= а²D(X ).

Наряду с дисперсией для оценки степени разброса значений случайной величины относительно среднего значения применяется характеристика, называемая средним квадратическим отклонением и равная корню квадратному из дисперсии: .

Пример 5.13.

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной следующим образом:

xk	1	4	10	20
pk	1/4	1/8	1/2	1/8

Решение

Найдем МО. По определению, МX =

МX = 1 1/4 + 4 1/8 + 10 1/2 + 20 1/8 =1/4 + 1/2 + 5 + 5/2 = 8,25

Найдем дисперсию. Воспользуемся формулой DX = МX^2 – (МX)²

DX = (11/4 + 161/8 + 1001/2 + 4001/8) – (8,25)² = 0,25+2+50+50-68,0625 = 34,1875.

5.7. Основные законы распределения Равномерное распределение

Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a, b], если ее плотность имеет вид: .

Г рафики плотности и функции равномерного распределения приведены на рис. 5.5 и 5.6:

Рис. 5.5.

Рис. 5.6.

Если X – равномерно распределенная СВ, то ее математическое ожидание МX=(b+a)/2, а дисперсия DX = (b-a)²/12.

Действительно, МX = = .

DX =

= .

Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Проводим n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти («успех») или не произойти («неудача»). Вероятность успеха (так же, как и неудачи) не изменяется от испытания к испытанию. В таком случае говорят, что имеет место схема испытаний Бернулли. Пусть p – вероятность успеха, а q=1-p – вероятность неудачи. Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз (и не осуществится n-k раз), выражается по формуле Бернулли: P_n(k)=C_n^kp^kq ^n-k, где C_n^k – число сочетаний из n по k.

Биномиальное распределение¹ (распределение Бернулли) – распределение дискретной случайной величины, принимающей целочисленные значения k=0, 1, 2,…, n с вероятностями P_n(k)=C_n^kp^k(1-p) ^n-k.

Если СВ X имеет биномиальное распределение то ее математическое ожидание МX=np, а дисперсия DX = np(1-p). Графики функции распределения Бернулли для p=0,1 и p=0,2, n=30 и n=100 см. на рис. 5.7.

n=30, p=0,1	n=100, p=0,1
n=30, p=0,2	n=100, p=0,2

Рис. 5.7.