5.6. Случайные величины

Случайная величина (далее СВ) – числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий.

СВ полностью определяется своим законом распределения, т.е. правилом, устанавливающим связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Функция распределения случайной величины X есть F_X (x) – вероятность наступления события {X < x}: F_X(x)=P{X <x}.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0 F_X(x) 1, - < х < 

2. F_X(x) – неубывающая функция на всей оси, т.е. F_X(x₂)  F_X(x₁), если x₂ > x₁.

3. = 0.

4. = 1.

Приведем еще два утверждения относительно свойств функции распределения:

5. Вероятность того, что СВ X примет значение, заключенное в интервале [a, b) равно приращению функции распределения на этом интервале:

P(a  X < b) = F(b) – F(a)

6. Если все возможные значения СВ X принадлежат интервалу (a, b), то:

F_X (x) = 0 при х  a;

F_X (x) = 1 при х  b

Дискретная СВ – СВ, принимающая отдельные, изолированные возможные значения с ненулевыми вероятностями.

Число возможных значений дискретной СВ может быть конечным или бесконечным.

Пример 5.10.

Рассмотрим условия Примера 5.1. Пусть X – число очков, выпавших на верхней грани. Тогда X(_i) = i. X – это случайная величина. Ее функция распределения определяется следующим образом:

F_X (x) =

На рис. 5.2 приведен график этой функции распределения.

Рис. 5.2.

Случайную величину, принимающую вещественные значения, называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, быть может, конечного числа точек.

Непрерывная СВ может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной СВ бесконечно.

Пример 5.11.

Являются ли функции, графики которых приведены на рис. 5.3, функциями распределения? Пояснить.

а . б.

Рис. 5.3.

Решение

а. Данная функция не является функцией распределения, поскольку она не является неубывающей.

б. Данная функция не является функцией распределения, поскольку все значения функции распределения должны находиться в диапазоне от 0 до 1. 

Плотность распределения вероятностей

Плотностью распределения вероятностей (плотностью вероятности или плотностью) непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения: p(x) = F(x)

Соответственно, функция распределения является первообразной для плотности вероятности: .

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция (p(x)  0).

2. Несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от - до  равен 1: .

Пример 5.12.

Может ли данная функция быть плотностью распределения вероятностей случайной величины? Обосновать. Построить график функции распределения.

Пусть дана функция

Решение

Данная функция по определению неотрицательна на всей числовой оси.

, следовательно, эта функция может быть плотностью распределения вероятностей.

Найдем функцию распределения F(x). По определению, .

Значит, .

При этом постоянные с₁, с₂ и с₃ находятся из условий:

1. F (-)=0,

2. F ()=1,

3. F (x) неубывающая функция на всей оси,

4. F (x) непрерывна на всей оси.

Значит, с₁ = с₂ = 0 и с₃=1.

Г рафик функции распределения приведен на рис. 5.4.

Рис. 5.4.