4.2. Линейные уравнения первого порядка

Мы остановимся здесь на важном частном случае обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка – линейных уравнениях первого порядка.

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y' + p(x) y = q(x), (4.2)

где p(x) и q(x) – заданные непрерывные функции. Линейными такие уравнения называют потому, что и производная, и неизвестная функция входят в них в виде линейной комбинации.

Если в (4.2) , то уравнение (4.2) называют неоднородным. В противном случае, т.е. когда q(x)  0, получаем однородное линейное уравнение первого порядка.

Изложим метод решения уравнений вида (4.2), известный как метод вариации постоянной.

1. Вначале рассматривается однородное уравнение

y' + p(x) y = 0.

После разделения переменных получаем

или .

Интегрируя обе части этого уравнения по х, имеем

.

В неопределенном интеграле справа фиксируем произвольную первообразную P(x), так что P'(x) = - p(x), и запишем

или

где – некоторая постоянная. Нетрудно убедиться, что функция y(x)= Ce^P(x) удовлетворяет однородному уравнению, т.е. является его общим решением, поскольку С – произвольно. Действительно,

Ce^P(x)  P'(x) + p(x)  C  e^P(x) = 0, ибо P'(x) = - p(x).

2. Общее решение неоднородного уравнения (4.2) будем искать в виде

y_н(x) = C(x)  e^P(x),

т.е. в виде общего решения однородного уравнения y(x) при условии, что С является не константой, а функцией х; в этом и заключается идея метода вариации постоянной. Для функции С(х) получаем следующее уравнение:

y_н' + p(x)  y_н = C'(x)e^P(x) + C(x)e^P(x)  (-p(x)) + p(x)  C(x)  e^P(x) = q(x),

C'(x) = q(x)  e^-P(x).

Интегрируя обе части уравнения по х, получаем

.

Отсюда общее решение исходного неоднородного уравнения (4.2) имеет вид

(4.3)

или окончательно:

y_н(x) = e^P(x) [Q(x) + C],

где Q(x) – некоторая фиксированная первообразная функции e^-P(x) q(x) , т.е.

Q'(x) = e^-P(x) q(x),

а С – произвольная постоянная. Непосредственной проверкой, т.е. подставляя выражение для y_н(x) в уравнение (4.2), убеждаемся, что y_н(x) является общим решением этого уравнения. Действительно,

y_н'(x) + p(x)  y_н(x) = e^P(x)  P'(x) [Q(x) + C] + e^P(x) Q'(x) +p(x)e^P(x) [Q(x) + C] =

= <P'(x) = - p(x)> = e^P(x)  Q'(x) = e^P(x) e^-P(x)  q(x) = q(x).

При решении конкретных задач на интегрирование линейных уравнений первого порядка можно пользоваться как выведенными в этом разделе общими формулами, так и применять метод вариации постоянной непосредственно, не используя общих формул.

Пример 4.1.

Применим общие формулы к линейному уравнению

y'+2y=x.

Здесь p(x) 2, q(x)=x. Общее решение задается формулой (4.3), которая в нашем случае принимает вид

,

где P(x) – произвольная первообразная от функции -p(x) -2.

Выбирая в качестве первообразной функцию P(x) = -2x, получаем, беря интеграл по частям,



Пример 4.2.

Применим метод вариации постоянной непосредственно к уравнению

1. Решаем однородное уравнение y'+xy=0. После разделения переменных имеем

или (ln y)' = -x.

Интегрируя обе части этого уравнения, получаем

или

где – произвольная постоянная.

2. Ищем общее решение неоднородного уравнения в виде , где С(х) - неизвестная функция. Для ее определения подставим общее решение в исходное уравнение. Получаем

т.е. С'(x)=2. Отсюда С(х)=2х+С. Окончательно получаем общее решение исходного уравнения в квадратурах



Анализируя вопрос о существовании общего решения в квадратурах для уравнения (4.2), мы видим, что дело сводится к существованию в квадратурах двух интегралов:

и ,

где P(x) – первообразная для функции – p(x). Ясно, что такое решение существует не всегда.

Пример 4.3.

Рассмотрим линейное уравнение первого порядка

y' – 2x  y = 1.

Здесь – p(x) = 2x, q(x)  1. Легко видеть, что интеграл I₁

интегрируется в квадратурах и равен х² + А. Полагая для простоты А = 0, т.е. P(x) = x² , получаем второй интеграл I₂ в виде

.

Этот интеграл в квадратурах не берется. Общее решение (4.3) имеет, следовательно, такой вид:

,

т.е. не может быть записано в элементарных функциях.

4.3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (4.4) где у=у(х) – искомая функция, p и q - вещественные числа, f(x) - заданная непрерывная функция.

Если f(x)  0, то уравнение (4.4) называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения (4.4) y_н(x) ищется в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения у(х), т.е у_н(х)= + у(х).

Общее решение однородного уравнения у(х) ищется с помощью решения характеристического уравнения.

Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению

,

называется алгебраическое уравнение второго порядка, получающееся формальной заменой в однородном уравнении второй производной у" на z², первой производной у' – на z, неизвестной функции y – на 1, т.е. уравнение вида

z²+ pz+q= 0.

Обозначим через z₁ и z₂ корни характеристического уравнения. Общее решение у(х), зависящее от двух произвольных параметров С₁ и С₂, строится в зависимости от значений корней следующим образом.

1. Если z₁ и z₂ - вещественные числа, z₁  z₂, то



2. Если z₁ и z₂ – вещественные числа и z₁ = z_2, то



3. Если z₁ и z₂ – комплексные числа вида z₁= a+ib, z₂= a-ib, то



Частное решение неоднородного уравнения (4.4) ищется методом неопределенных коэффициентов в зависимости от конкретного вида правой части f(x). Рассмотрим четыре различных варианта, с которыми наиболее часто приходится иметь дело на практике.

Вариант 1. Если f(x)=P_n(x) – многочлен порядка n, P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+......+a_n-1x+a_n, то частное решение ищется в виде = Q_n(x)x^r, где Q_n – некоторый многочлен порядка n, коэффициенты которого подлежат определению, а r – число корней характеристического уравнения, равных 0. 

Пример 4.4.

Найти общее решение у_н(х) уравнения

у'' + 3y' = x² + x +2.

Cоставляем характеристическое уравнение z² + 3z = 0; его корни: z₁ = 0 и z₂ = -3 - действительные, различные. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

y(x) = C₁ + C₂ e^-3x.

Частное решение исходного уравнения надо искать в виде

,

поскольку n=2 и r=1. Для определения коэффициентов А, В и С подставим в исходное уравнение, имея в виду, что

, .

Получаем

6Ах + 2В + 9Ах² + 6Вх + 3С = х² + х + 2.

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х в обеих частях равенства, получим систему трех уравнений для трех неизвестных:

Ее решением являются числа А=1/9, В = 1/18, С = 17/27. Итак,



Вариант 2. Если f(x) = e^xP_n(x), то частное решение ищется в виде , где Q_n(x) - многочлен той же степени, что и P_n(x), а r - число корней характеристического уравнения, равных . Здесь, как и в первом варианте, подлежат определению коэффициенты многочлена Q_n(x) 

Пример 4.5.

Найти общее решение у_н(х) уравнения

y'' - 3y' + 2y = e^x(2 + x).

Характеристическое уравнение для этого случая: z²-3z + 2 = 0. Его корни: z₁ = 1, z₂ = 2, т.е. действительные, различные. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

у(х) = С₁ е^х + С₂ е^2х.

Частное решение исходного уравнения надо искать в виде

,

поскольку n = 1,  = 1, r = 1. Для определения коэффициентов А и В подставляем в исходное уравнение, предварительно определив

Получаем после сокращения на е^х следующее равенство:

Ах² + (4А + В)х + 2А + 2В - 3Ах² - 3(В + 2А)х - 3В + 2Ах² +2Вх = 2 + х.

После приведения подобных членов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства; получаем систему двух уравнений для А и В:

Ее решение имеет вид: А = -1/2, В = -3. Итак,



Вариант 3. Если f(x) = a cosx+ b sinx, где а,b и  – известные числа, то частное решение ищется в виде , где А и В – подлежащие определению коэффициенты, а r – число корней характеристического уравнения, равных i 

Пример 4.6.

Найти общее решение у_н(х) уравнения

y'' + y = 3 cosx + 2sinx.

Характеристическое уравнение z² + 1 = 0 имеет чисто мнимые корни z₁ = i, z₂ = -i; поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

у(х) = С₁ cos x + C₂ sin x.

Частное решение исходного уравнения должно иметь вид

,

поскольку  = 1, r =1. Подсчитав

подставим частное решение в исходное уравнение. Получаем равенство

2(Вcos x - Asin x) + x(-Bsin x - Acos x) + х(Acos x + Bsin x) = 3cos x + 2sin x.

Приведя подобные члены и приравняв коэффициенты при sin x и cos x в обеих частях этого равенства, получим систему двух уравнений для А и В:

откуда А = -1, В = 3/2. Итак,



Вариант 4. Если где P_n(x), P_m(x) - многочлены степеней n и m, соответственно, то частное решение ищется в виде , где Q_s(x) и R_s(x) - многочлены степени s, s = max(n,m), а r - число корней уравнения, равных +i. Определению подлежат коэффициенты обоих многочленов Q_s(x) и R_s(x) 

Пример 4.7.

Найти общее решение у_н(х) уравнения

.

Характеристическое уравнение z² - 2z +2 = 0 имеет комплексные корни z₁ = 1+i и z₂ = 1-i, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Частное решение следует искать в виде

,

поскольку  = = 1, r = 1, n = 1, m = 0 и s = 1. Подсчитаем производные:

Подставляя , и в исходное уравнение и группируя слагаемые с cos x и sin x отдельно, получаем после сокращения на е^х следующее равенство:

кккоторое после приведения подобных членов упрощается и принимает такой вид:

Приравнивая коэффициенты при cos x, хcos x, sin x и хsin x в обеих частях этого равенства, получаем систему из четырех уравнений относительно A,B,C,D:

откуда B = 0, C = 1/2, D = 1/4, A = 3/4. Итак,



Наконец, если f(x) = f₁(x) + f₂(x), где f₁(x) и f₂(x) имеют вид, соответствующий описанным выше конкретным вариантам, то частное решение ищется в виде , где – частное решение неоднородного уравнения y'+py'+qy=f₁(x), а – частное решение неоднородного уравнения y''+py'+qy=f₂(x) 