4. Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения
Термин «дифференциальные уравнения» был предложен Г. Лейбницем. Первые исследования обыкновенных дифференциальных уравнений были проведены в конце XVII века. Эти исследования зародились в рамках математического анализа. Простейшей задачей на решение дифференциальных уравнений является задача нахождения первообразной для заданной функции.
4.1. Основные понятия и определения
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором неизвестной является функция от одной независимой переменной, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков. Если в уравнение из всех производных входит только первая, то такое уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, если первая и вторая, то имеем уравнение второго порядка и т. д.
Задача нахождения первообразной от непрерывной функции f(x) может быть сформулирована в форме обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
y' = f(x).
Ее решением, как мы уже знаем, является неопределенный интеграл от функции f(x),т.е. семейство первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину,
,
где F(x) – некоторая фиксированная первообразная, например, интеграл Римана с переменным верхним пределом интегрирования. Это решение называют общим решением дифференциального уравнения. Принципиально то, что общее решение уравнения первого порядка зависит от одного независимого параметра – константы С, при изменении (варьировании) которой мы получаем целое семейство функций.
Естественным обобщением приведенного выше уравнения является обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной
y' = f(x, y), (4.1)
где известная функция f уже зависит от двух аргументов – независимой переменной х и неизвестной функции y.
Решением обыкновенного дифференциального уравнения (4.1) называется функция y = y(x) , определенная на некотором интервале изменения переменной х и удовлетворяющая на этом интервале условию
y'(x) = f(x,y(x)).
Различают общее и частное решение дифференциального уравнения (4.1). Общее решение, как и в случае простейшего дифференциального уравнения, зависит от параметра С, т.е. имеет вид y(x) = (x, С). Частное решение получается из общего решения фиксированием значения параметра С (С = С0), т.е. оно имеет вид
Обычно значение параметра С0 для частного решения уравнения (4.1) определяется из так называемого начального условия, задаваемого в виде начальных значений (x0, y0) , смысл которых состоит в выделении решения, удовлетворяющего условию
.
Для этого надо решить алгебраическое уравнение
(x0 , С) = y0
относительно С, это решение и даст значение С0.
Нахождение решения уравнения (4.1) называют интегрированием дифференциального уравнения; частное решение называют интегральной кривой, начальные значения – начальной точкой соответствующей интегральной кривой, а общее решение – семейством интегральных кривых данного уравнения.
Аналогично определяется решение уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производной
,
где известная функция f зависит от трех аргументов: независимой переменной x, неизвестной функции y и ее производной y'. Общее решение зависит в этом случае уже от двух параметров, т.е. имеет вид y(x)=(x,C1,C2). Частное решение получается из общего решения фиксированием значений параметров С1 и С2, С1= С1(0), С2= С2(0), т.е. имеет вид
Значения параметров С1(0) и С2(0) определяются из начального условия (x0,y0,y0'), смысл которого состоит в выделении решения, удовлетворяющего условию
Для этого надо решить систему из двух алгебраических уравнений
(x0,C1,C2)=y0,
x'(x0,C1,C2)=y'0
относительно неизвестных C1 и C2 и определить из нее значения C1(0) ,C2(0).
Главной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение решений таких уравнений. При становлении теории стремились осуществить интегрирование уравнений в квадратурах, т.е. получить формулу, задающую решение y(x), через элементарные функции и интегралы от них. Особый интерес представляют общие решения уравнений; они позволяют исследовать свойства решений в наиболее полной форме. Однако уже в середине XIX века были обнаружены примеры дифференциальных уравнений, которые нельзя проинтегрировать в квадратурах. Оказалось, что решение в квадратурах удается найти лишь для небольшого числа классов уравнений; в остальных случаях приходится довольствоваться приближенными методами интегрирования.