Введение

Предлагаемое Вашему вниманию учебно-методическое пособие предназначено для слушателей РАГС, изучающих курс математики, и является продолжением ранее изданного пособия [1]. Оно содержит разделы по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистике, входящие в программу изучения этого курса. Поскольку пособие в первую очередь нацелено на развитие логического мышления и формирование навыков решения задач у слушателей, то в нем помещены краткие теоретические сведения (необходимые математические понятия и приводимые иногда без доказательств теоремы), а также большое количество иллюстрирующих их примеров. Пособие содержит весь материал, необходимый для выполнения задания по математике по вышеуказанным разделам, однако не заменяет учебников в части теории.

Несколько слов об обозначениях, принятых в данном пособии. Основные определения помещаются в рамки, выделяются курсивом, а вводимое понятие – жирным шрифтом. Вводимые обозначения отмечаются вертикальной чертой по левому полю. Примеры начинаются с заголовка «Пример», нумерация их составная: номер раздела, затем номер примера в данном разделе. Текст примеров набран курсивом более мелким шрифтом и завершается символом «». Этот же символ используется для завершения текста отдельных утверждений типа теорем.

1. Дифференцируемые функции

1.1. Действительные функции

Основные определения, связанные с понятием «функция», были даны в п. 2.12 пособия [1]. В математическом анализе изучают так называемые действительные функции и их различные обобщения; у действительной функции f  Х  множества Х и Y суть подмножества множества действительных чисел R. Важным частным случаем понятия действительной функции является понятие последовательности.

Последовательностью элементов числового множества Х называется функция f, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая значения в множестве Х, т.е. f : N  Х. Элементом или членом последовательности f называется упорядоченная пара (п, х), х=f (п), п  N, х Х; натуральное число п называется номером элемента последовательности, а число х Х – его значением.

П оследовательность f : N  Х традиционно принято обозначать как {x_n}, п=1, 2,  .

Стационарная последовательность определяется как x_n = а для всех n=1,2, .

Конечная последовательность задается как отображение начального отрезка натурального ряда {1, 2,  , n} в множество Х.

Последовательность может задаваться:

1) формулой ее общего члена, зависящей от номера n, например, x_n=5ⁿ ;

2) рекуррентной формулой, например,

3) словесным описанием, например: последовательность логарифмов по основанию 2 от всех простых натуральных чисел в порядке их возрастания.

Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число S (s), большее (меньшее) любого ее члена, т.е. n х_n  S (n x_n  s). Если последовательность {x_n} ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной.

Последовательность {x_n} называется бесконечно большой (бесконечно малой), если для любого положительного числа  существует номер N такой, что при всех n  N выполняется условие |x_n|   (|x_n|  ).

Формальная запись:  N n n>N  |x_n|   (|x_n|  ).

Пример 1.1.

1) Последовательность x_n = - n ограничена сверху, поскольку для S = 0 имеем очевидное неравенство 0  - n при п = 1, 2, … ; но эта последовательность не ограничена снизу. Напротив, последовательность х_п = log₂ п ограничена снизу, поскольку для s = -1, очевидно, log₂n  - 1 при п = 1, 2, …; в то же время она не ограничена сверху.

2) Последовательность x_n = ограничена, т.к. для S = 2 и s = 0 выполняются очевидные неравенства 2   0 при n = 1, 2, … .

3) Последовательность х_п = п бесконечно большая, а последовательность х_п = –- бесконечно малая