3. Постановка задачи оптимального раскроя материалов

Под задачами раскроя и (или) упаковки (R-U) понимается широкий класс моделей, объединённых однообразной логической структурой и допускающих различное толкование. В отечественной и зарубежной литературе они встречаются под следующими названиями: задача раскроя запаса материала; задача плотного размещения геометрических объектов в заданной области; задача загрузки рюкзака; задача выбора ассортимента; задача обеспечения ритмичности производственного процесса и др. [9].

Логической основой для отнесения какой–либо проблемы к данному классу задач является наличие двух групп объектов. К первой группе относятся, как правило, крупные объекты (будем называть их объекты), ко второй группе – малые (далее именуемые элементы). Требуется установить соответствие и порядок назначений между некоторыми элементами и объектами. При этом предполагается, что среди объектов существует такой, что ему может быть назначен любой элемент (разрешимость задачи).

Основными характеристиками факторов, определяющих данные классы моделей, являются следующие:

1. мерность объектов: различаются детерминированные (D) и стохастические (S) модели, соответствующие объектам фиксированных и случайных длин;

2. ассортимент объектов: единственный объект (задачи G – генерирования R-U) или много объектов (задачи P – планирования R-U);

3. вид назначения: все элементы назначаются выборке объектов (задача Z – на заказ) или всем объектам назначаются элементы некоторой выборки (задача Q – оперативный R-U);

4. ассортимент элементов: много или мало элементов каждого вида порождает непрерывную (N) или целочисленную (C) модели планирования R-U;

5. оптимизация: однопараметрическая (O) или многопараметрическая (M) оптимизация в задачах R-U;

6. размерность объектов и элементов: одномерные, двухмерные, трёхмерные или N - мерные задачи;

7. геометрия элементов: прямолинейные (задачи L) или фигурные (задачи F) элементы.

Классификация основных моделей R-U приведена на рис. 7.4 [9].

На верхнем уровне классификации находятся исходные данные (детерминированные или случайные меры объектов). В приведенной классификации детализированы только детерминированные модели. Для идентификации ситуаций R-U отведены 6 позиций, первые 3 из них предназначены для задачи планирования, последние 3 – для задачи генерации R-U.

Для простоты будем считать, что имеется один или несколько конгруэнтных объектов Q, мера P которых известна. Кроме того, задан список неконгруэнтных элементов (q₁, q₂, …, q_т), и для каждого элемента известны его мера p_i и количество b_i.

В случае решения задачи GR требуется найти выборку элементов и карту раскроя объектов Q, в которой искомая выборка размещена оптимальным способом; например: имеет максимальную суммарную меру (оценку) элементов. Выходом при этом является карта R. При решении задачи PR требуется найти совокупность и количество n различных карт R с указанием интенсивностей x_j, j=1, n их применения. При этом размещёнными оказываются все элементы, а в качестве функции цели рассматривается количество занятых объектов, равное в этом случае x_j.

Обозначим через Г(Q) границу объекта Q, а через

 ^j =  r _j = a_1j, a_2j, , a_ij, , a_mj –

• вектор, идентифицирующий карту r_j; его целочисленные компоненты a_ij указывают количество i-х элементов в карте j. Тогда условие реализуемости карты R можно записать в следующем виде:

• условие непересечения элементов:

- условие принадлежности выборки элементов объекту Q:

 q_i ∩ Г(Q) = , j = 1, n; (7.3)

i /q_ir_j

- условие непересечения выборки элементов с границей объекта.

Для реализуемости плана R-U требуется, кроме того, выполнение условий:

x_j  0,  x_j = 0, j = 1, n; (7.4)

- условие целочисленности интенсивностей применения карт R;

_{n ______}

 a_ij x_j = b_i, i =1, m ; (7.5)

^{j = 1}

- условие полной выборки элементов.

План R-U оптимальный, если при выполнении условий (7.4) – (7.5), достигает минимума величина:

_n

( x) =  x_j. (7.6)

^{j = 1}

При соблюдении требования целочисленности переменных x_j задача PR описывается моделью линейного целочисленного программирования (LCP).