5.2. Математическая постановка задачи проектирования тпши

Для того, чтобы сформулировать постановку задачи проектирования ТПШИ, необходимо ввести следующие математические объекты: модель ТПШИ, пространство моделей ТПШИ, пространство внешних характеристик ТПШИ, оператор контроля.

Математическая модель ТПШИ представляет собой ориентированный, взвешенный граф без контуров и петель, вершинам которого соответствуют технологические операции, а дугам – связи между операциями в процессе изготовления изделия. Нагрузкой графа являются характеристики технологических операций.

Математически граф G определяется двумя множествами N и E, то есть G=(N, E). N={n1, n2, …, np} – множество вершин, каждой из которых соответствует технологически неделимая операция (ТНО). Каждая ТНО характеризуется следующими параметрами: C_i  С – специальность, R_i  R – разряд работ; T_iосн – норма времени ТНО; d_i  Q – вид применяемого оборудования, где J – множество номеров технологически неделимых операций; R = 1, 2, …, 6 – множество разрядов; С = {Р, Ри, Ртц, М, С, У, П} – множество специальностей; Q = {d1, d2, …, dq} – множество видов оборудования. Причем, это время включает в себя элементы только независимых блоков технологических приёмов.

E={e1, e2, …, eq} – множество дуг, которые указывают не только связи между ТНО, но и имеют вес (Т_всп) – время выполнения вспомогательных движений (элементы зависимых блоков технологических приемов).

Время изготовления изделия определяется по формуле:

_{p q}

T = ∑ T_iосн + ∑ Т_{iвсп .} (5.1)

^{i=1 i=1}

Задача состоит в определении последовательности выполнения ТНО по обработке изделия (в соответствии со структурой графа), обеспечивающей минимум затрат времени на выполнение вспомогательных операций, т. е.:

_q

Т_всп = ∑ Т_iвсп min.

ⁱ⁼¹

(5.2)

С помощью графа можно определить минимальное время изготовления модели. Это максимальное время технологических операций, лежащих на одной цепочке [5].

Математическую модель конкретного ТПШИ обозначим буквой х.

Пространство моделей ТПШИ определим как множество возможных моделей ТПШИ. Пространство моделей ТПШИ представляет собой обобщенный граф ТП изготовления определенного вида изделия. Вершинами обобщенного графа являются технологические операции, характерные для обработки всевозможных моделей данного вида изделия, а другими – связи между операциями, определяющими последовательность их выполнения при изготовлении изделий. Основным свойством такого графа является то, что модель любого конкретного ТП есть некоторый его подграф. Пространство моделей ТПШИ обозначим буквой Х.

Таким образом, пространство моделей ТПШИ Х – это граф, а модель ТПШИ х – это подграф.

При проектировании ТП на них накладываются различные ограничения, основными из которых являются конструктивно-технологические и технические. Конструктивно-технологические ограничения определяются конструктивно-технологическими свойствами определенного изделия, которое нужно изготовить. Технические ограничения определяются возможностями конкретного предприятия, а именно наличием оборудования, средств малой механизации и вспомогательных материалов.

Таким образом, ограничения определяются в пространстве моделей (область конкретных ТП), учитывающих конструктивно-технологические особенности заданного изделия и возможности конкретного предприятия. Назовем эту область областью допустимых ТПШИ и обозначим Д  Х.

Тогда запись х  Д  Х отражает имеющиеся ограничения на модель ТПШИ.

Ранее было введено понятие внешних характеристик ТПШИ и выделены наиболее важные из них, являющиеся критериями оптими-

зации ТП при их проектировании: Т – время обработки изделия;

С – технологическая себестоимость; К – капитальные затраты.

В

Т

образом, у = С

К

– трехмерный вектор столбец.

нешние характеристики ТПШИ обозначим буквой у. Таким

Пространство внешних характеристик определим как Евклидово координатное пространство R³.

Оператор контроля определим как оператор, описывающий связь между моделью ТПШИ х и внешними характеристиками ТПШИ у, и обозначим F. Таким образом, у = F(х), х  Х.

Внешние и внутренние характеристики ТПШИ не связаны между собой аналитической зависимостью, поэтому оператор контроля F, по существу, представляет собой сложный алгоритм расчета внешних характеристик по модели ТП. Использование такого оператора для проектирования ТП на всех этапах может оказаться неэффективным, т. к. чрезмерно усложнит процесс проектирования. Поэтому определим два оператора контроля – упрощенный и имитационный.

Упрощенный оператор контроля F^у будет не в полной мере соответствовать реальной зависимости между х и у. Подсчитанные по этому оператору характеристики будут соответствовать упрощенным внешним характеристикам ТП, которые оценивают предельные возможности ТП и определяют минимальные затраты, заложенные в технологии.

Упрощенный оператор контроля будет иметь вид:

Т^у

F^у (х) = С^у =

К^у

, (5.3)

где Т^у, С^у, К^у – упрощенные внешние характеристики ТПШИ; ; ; , где Т_oi , С_{oi ,} К_oi – характеристики технологических операций, n – количество технологических операций в ТП.

Упрощенный оператор контроля вводится на первом этапе проектирования. С помощью этого оператора исключаются варианты ТПШИ, заведомо непопадающие в область оптимальных решений.

Имитационный оператор контроля F^и, напротив, отвечает реальной зависимости характеристик ТПШИ. Он не имеет простого аналитического вида. Имитационный оператор контроля представляет собой машинный алгоритм расчета фактических внешних характеристик ТПШИ конкретной модели. Имитационный оператор контроля состоит из двух алгоритмов: алгоритма расчета технологической схемы разделения труда и алгоритма расчета внешних характеристик ТПШИ по этой схеме.

Определив необходимые математические понятия, сформулируем постановку задачи проектирования оптимальных ТПШИ.

Т

(5.4)

радиционная постановка задачи как решение уравнения F(х) = у, где вектор у задан точно, не отвечает действительности, то есть реальному проектированию ТПШИ, так как:

Т

у = С .

К

Точное задание у означает задание трех чисел: Т, С, К. Но на практике всегда имеется отклонение от точных значений. Поэтому каждое отдельное требование к правой части представляет собой некоторое допустимое множество.

Таким образом, задание на проектирование на практике представляет собой не точно заданный вектор, а семейство требований к нему в виде допустимых множеств векторов, между некоторыми из которых определено отношение предпочтительности (приоритета).

Обозначим задание на проектирование – З, а совокупность требований – {Зn}, где n = 1, 2, …, N.

Таким образом, задание З = {Зn}, Зn  R³, n = 1, 2, …, N представляет собой совокупность подмножеств Зn пространства внешних характеристик  R³, обладающих следующими свойствами:

1. Зn ≠ О, n=1, 2…N (Зn есть не пустое множество);

2. пересечение двух любых требований Зn и Зm из задания З является новым требованием из этого семейства.

Подобно тому, как заданию поставлено в соответствие математическое понятие – Задание З = {Зn}, проекту будет соответствовать математическое понятие объекта, которое обозначим П.

Проект представляет собой совокупность сведений π о технологических решениях. Таким образом, проект П = π , где π – некоторые подмножества пространства модели Х, удовлетворяющие

x Пп, F(x)=y 3n, n=1,2,…,N F(πп) = Зn.

Отметим еще раз, что проект в общем случае представляет собой не абсолютно заданную точку х Х, а совокупность сведений о технологических решениях.

Для задачи проектирования ТПШИ можно выделить три основных случая:

1. Проектирование ТПШИ при разработке проекта нового предприятия.

2. Проектирование ТПШИ при реконструкции действующего предприятия.

3. Проектирование ТПШИ при запуске новых моделей (ассортимента) изделий в действующий процесс без реконструкции последнего.

Постановку задачи проектирования ТПШИ необходимо формировать с учетом этих трех случаев.

Общая постановка задачи проектирования ТПШИ должна учитывать основные направления развития швейной промышленности, многообразие целей, возникающих в конкретных производственных условиях.

Разработке ТПШИ при строительстве нового предприятия отвечает задача терминального проектирования, где выбранный вариант ТПШИ не является окончательным, так как при введении в действие уточняется.

Задача проектирования ТПШИ при запуске новых моделей (ассортимента) в действующий поток является частным случаем задачи общего проектирования. Но ее целесообразно выделить специально, так как можно решить более простым способом.

При решении задачи проектирования ТПШИ на действующем потоке отсутствуют конечные ограничения на капитальные затраты. Ограничения на капитальные затраты в данной задаче определены в сведениях об оборудовании, которое может быть использовано в разрабатываемом технологическом процессе. Поэтому для данной задачи критериями оптимизации будут технологическая себестоимость С и время обработки изделия Т. Учитывая особенности изменения данных характеристик в зависимости от мощности потока (его такта) и тесную взаимосвязь этих характеристик, критерием оптимизации в частной задаче проектирования ТПШИ можно выбрать технологическую себестоимость С.

Перейдем к математическим формулировкам задачи проектирования ТПШИ.

Постановка задачи общего проектирования

Считается известным: Пространство моделей X, пространство внешних характеристик Y, оператор контроля:

y = F(x), x  X, y  Y.

Дано: Задание 3={з_n}, n = 1, 2, ..., N и ограничения, определяющие

область Д  X.

Требуется найти: Проект П, соответствующий заданию 3 и ограничениям.

Постановка задачи терминального проектирования

Считается известным: Пространство моделей X, пространство внешних характеристик Y, оператора контроля:

y=F(x), x  X, y  Y.

Дано: Задание 3={з_n}, n = 1, 2, ..., N и ограничения, определяющие

область Д  X.

Требуется найти: Некоторый терминальный проект = {Хз_n , з_n  З}, соответсвую щий заданию 3.

Постановка задачи частного проектирования

Считается известным: Пространство моделей X, оператор контроля:

F(x) = y.

Дано: Ограничения конструктивно-технологические и технические, опре­деляющие область Д  X.

Требуется найти: Оптимальный проект х°  Д из условия С (х°)  min.

Для решения сформулированной задачи проектирования технологических процессов с использованием ЭВМ необходимо иметь модель ТПШИ, позволяющую формализовать сведения о ТП; методику проектирования, предусматривающую выбор наилучших вариантов ТП из возможных для изготовления заданного изделия; систему кодирования исходной и нормативно-справочной информации, алгоритмы и программы проектирования ТПШИ [10].