Раздел 4. Теория функций комплексного переменного.

1

Формы записи комплексного числа

1.1

Условие

Варианты

Записать комплексное число в алгебраической форме:

Решение

Т.к. .

1.2

Условие

Варианты

Модуль комплексного числа (-2-5i) равен:

1. 

2. 2

3. 

4. 7

Решение

.

1.3

Условие

Варианты

Мнимая часть комплексного числа равна:

1. 0

2. 1

3. 2

4. -1

Решение

.

1.4

Условие

Варианты

Аргумент комплексного числа равен

Решение

.

1.5

Условие

Варианты

Действительная часть комплексного числа равна:

1. 0

2. 1

3. 2

4. -1

Решение

1.6

Условие

Варианты

На рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа , тогда тригонометрическая форма записи этого числа имеет вид:

Решение

.

1.7

Условие

Варианты

Комплексное число можно представить в виде (выбрать несколько ответов):

Решение

,

 тригонометрическая форма

 показательная форма

(б)

1.8

Условие

Варианты

Комплексное число в тригонометрической форме имеет вид:

Решение

1.9

Условие

Варианты

Н а рисунке приведено геометрическое изображение комплексного числа. Его тригонометрическая форма записи имеет вид …

а)

б)

в)

г)

Решение

.

1.10

Условие

Варианты

Укажите соответствие между областями и их геометрическими интерпретациями:

а)

б)

в)

г)

д)

Решение

1) (в) 2) (д)

3) (г) 4) (а)

1.11

Условие

Варианты

Если z  комплексное число, , то модуль числа z равен …

1. 14

2. 16

3. 28

4. 49

Решение

т.к. .

1.12

Условие

Варианты

Установите соответствие между комплексным числом и его модулем:

1) 2)

3) 4)

а) 5;

б) 13;

в) 3;

г) 1;

д) 2;

е)

Решение

1) (а)

2) (д)

3) (в)

4) (б)

1.13

Условие

Варианты

Аргумент комплексного числа равен:

3. 0

Решение

.

1.14

Условие

Варианты

Н а рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа , тогда тригонометрическая форма записи этого числа имеет вид:

Решение

.

1.15

Условие

Варианты

Если , то множество точек комплексной плоскости, заданных условием имеет вид:

а)

б)

в)

г)

Решение:

1.16

Условие

Варианты

Расположить комплексные числа в порядке возрастания модулей:

; ; ; .

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение

;

;

;

.

Таким образом, . Верный ответ г).

2

Операции над комплексными числами

2.1

Условие

Варианты

Найти значение выражения .

Решение

Умножим и числитель, и знаменатель данного дробного выражения на сопряженное знаменателю. Имеем

.

2.2

Условие

Варианты

Даны комплексные числа

и .

Тогда равно:

Решение

.

2.3

Условие

Варианты

Дано: и , тогда равно:

Решение

.

2.4

Условие

Варианты

Если и , то равно:

Решение

2.5

Условие

Варианты

Дано комплексное число . Установить соответствия между операциями над данным числом и результатами их выполнения:

1. 

2. 2

3. 

4. 

Решение

1. (д)

2. (б)

3. (а)

4. (в)

2.6

Условие

Варианты

Пусть . Известно, что

, тогда равно …

1. 4

2. 

3. 

4. 

Решение

Используя равенство , комплексное число z можно возвести в n-ую степень по формуле Муавра .

Имеем

2.7

Условие

Варианты

Результатом деления комплексного числа на комплексное число является:

Решение

.

2.8

Условие

Варианты

Сумма комплексных чисел и равна …

Решение

.

2.9

Условие

Варианты

Даны два комплексных числа и . Тогда действительная часть произведения равна …

а) 32

б) 12

в) 8

г) 20

Решение

. .

2.10

Условие

Варианты

Даны два комплексных числа и

Тогда аргумент частного (в градусах) равен …

1. 210⁰

2. 180⁰

3. 90⁰

4. 120⁰

Решение

, , ,

.

2.11

Условие

Варианты

Частное от деления двух комплексных чисел, где равно:

Решение

.

2.12

Условие

Варианты

Частное от деления комплексного числа на сопряженное равно:

Решение

2.13

Условие

Варианты

Найти значение выражения

Решение

.

2.14

Условие

Варианты

Одним из корней является число равное:

Решение

Таким образом, верный ответ а).

2.15

Условие

Варианты

Дано комплексное число . Установить соответствия между операциями над данным числом и результатами их выполнения:

Решение

1. (д)

2. (г)

3. (а)

4. (б)

3

Определение функции комплексного переменного

3.1

Условие

Варианты

Дана функция . Тогда равно …

Решение

Найдем значение функции при . Имеем

.

3.2

Условие

Варианты

Значение функции в т. равно:

Решение

.

3.3

Условие

Варианты

Мнимая часть функции , где , имеет вид:

Решение

.

3.4

Условие

Варианты

Значение функции в точке равно …

1. 

2. 

3. 2

4. 1

Решение

3.5

Условие

Варианты

Установите соответствие между функцией комплексного переменного и ее значением в точке

1) ; 2) ; 3)

1. 3

2. 

3. 

4. 

5. 

Решение

1) (г)

2) (д)

3) (б)

3.6

Условие

Варианты

Значения функции в точке равно:

Решение

3.7

Условие

Варианты

Значение функции в точке равно:

Решение

4

Дифференцирование функции комплексного переменного

4.1

Условие

Варианты

Если , тогда значение производной этой функции в т. равно:

Решение

, .

4.2

Условие

Варианты

Если и , то имеет вид:

Решение

т.к. то

.

4.3

Условие

Варианты

Значение производной функции в точке равно:

1. 1

2. -2

3. 2

4. -1

Решение

4.4

Условие

Варианты

Если , тогда значение производной этой функции в точке равно …

Решение

4.5

Условие

Варианты

Если , тогда значение производной этой функции в точке равно:

Решение

. .

5

Периодические функции

5.1

Условие

Варианты

Укажите график периодической функции из приведенных ниже.

1) , 2)

3) , 4) .

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

Решение

Графиком периодической функции является вариант 2.

5.2

Условие

Варианты

Произведение значений параметра , при которых период функции равен , равен …

1. 48

2. 384

3. 32

4. 2

Решение

Воспользуемся тем, что если  периодическая функция с периодом Т, то функция является периодической с периодом . Функция имеет период , тогда рассматриваемая функция имеет период , поэтому . Откуда получаем два уравнения:

.

Таким образом, ответом является число .

5.3

Условие

Варианты

Указать две периодические функции с периодом 2 из представленных ниже:

1) 2)

3) 4)

1. 1, 2

2. 1, 4

3. 2, 4

4. 1, 3

Решение

Если  периодическая функция с периодом Т, то функция является периодической с периодом . Тогда для , отсюда . Для , отсюда . Для , отсюда . Для , отсюда . Следовательно, период 2 имеют функции 1 и 3.

5.4

Условие

Варианты

Произведение значений параметра а, при которых период функции равен , равно …

1. -135

2. 1

3. -45

4. 3

Решение

Воспользуемся тем, что если  периодическая функция с периодом Т, то функция является периодической с периодом . Функция имеет период , тогда рассматриваемая функция имеет период , поэтому . Откуда получаем два уравнения:

Таким образом,

5.5

Условие

Варианты

Установить соответствие между периодической функцией и значением ее периода:

1) 2)

3)

1. 

2. 4

3. 

4. 5

5. 2

Решение

Если  периодическая функция с периодом Т, то функция является периодической с периодом . Тогда для , отсюда (б). Для , отсюда (а). Для , отсюда (г).

6

Элементы гармонического анализа

6.1

Условие

Варианты

На рисунке изображен график периодической функции . Ее аналитическое представление на отрезке имеет вид …

Решение

При функция , при функция , а при функция . Поэтому аналитическое представление функции имеет вид:

6.2

Условие

Варианты

Гармонические колебания с амплитудой А, частотой ω и начальной фазой φ описываются законом …

Решение

Гармоническое колебательное движение описывает

функция .

6.3

Условие

Варианты

Если функция описывает гармоническое колебательное движение, то частотой колебания называется величина …

1. A

2. φ

3. ω

4. 

Решение: Величина ω – частота колебания.

6.4

Условие

Варианты

Если функция описывает гармоническое колебательное движение, то начальной фазой колебания называется величина …

1. A

2. φ

3. ω

Решение: Величина φ – начальная фаза колебания.

6.5

Условие

Варианты

На рисунке изображен график периодической функции . Ее аналитическое представление на промежутке имеет вид …

Решение

При функция , при функция , а при функция . Поэтому аналитическое представление функции имеет вид:

7

Ряд Фурье. Теорема Дирихле

7.1

Условие

Варианты

Коэффициент ряда Фурье функции с периодом равен …

1. 

2. 

4. 0

Решение

Данная функция непрерывна на всей числовой прямой и имеет кусочно-непрерывную производную,  периодическая. Следовательно, ее ряд Фурье сходится к ней в каждой точке . Принимая во внимание четность данной функции, имеем , то есть .

7.2

Условие

Варианты

График функции при и его периодическое продолжение заданы на рисунке:

Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид …

а)

б)

в)

г)

Решение

Функция не является ни четной, ни нечетной, следовательно, ответ 1).

7.3

Условие

Варианты

Функция , заданная на , является четной. Тогда разложение этой функции в ряд Фурье может иметь вид …

а)

б)

в)

г)

Решение

Если функция на отрезке  четная, то коэффициент . Тогда ее разложение имеет вид г.

7.4

Условие

Варианты

Дана функция , . Тогда коэффициент разложения функции в ряд Фурье равен …

1. 

2. 0

3. 

Решение

 нечетная функция

7.5

Условие

Варианты

Дана функция . Тогда коэффициент разложения функции в ряд Фурье равен:

Решение

– четная функция, т.к. , следовательно, .

7.6

Условие

Варианты

Коэффициент ряда Фурье периодической функции с периодом 2, заданной на отрезке уравнением , равен …

1. 0;

2. ;

3. 2;

Решение

Функция является четной, поэтому при вычислении a₀ используем формулу

7.7

Условие

Варианты

Коэффициент ряда Фурье периодической функции с периодом 2l, заданный на интервале соотношением

, равен …

1. 0;

2. ;

3. ;

4. А.

Решение

Данная функция кусочно-гладкая, причем  точка разрыва I-го рода. Согласно теореме о разложении функции в ряд Фурье, функция может быть представлена указанным рядом. Имеем

.

7.8

Условие

Варианты

Найти сумму ряда в точке .

1. 2

2. -1

4. 1

Решение

По теореме Дирихле в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна , т.е. среднему арифметическому односторонних пределов функции справа и слева. .

7.9

Условие

Варианты

Дана функция . Тогда коэффициент разложения функции в ряд Фурье равен:

1. 5

2. 2

3. 0

4. 

Решение

– нечетная функция, т.к. , следовательно, .

7.10

Условие

Варианты

Дана функция . Тогда коэффициент разложения функции в ряд Фурье равен:

Решение

– четная функция, т.к. , следовательно .