3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

3. 1. Метод вариации произвольной постоянной

Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка линейное относительно y и т.е.

(3)

1).Если в (3) Q(x)=0, то (3)называется однородным:

(4)

(5)

Уравнение (5) является общим решением уравнения (4).

2). Будем считать произвольную постоянную с неизвестной функцией с(х), т.е.

Полученные выражения для y и подставим в (3) и найдем с (х):

Решение уравнения (3) запишется в виде

Рассмотренный способ решения линейных дифференциальных уравнений называется методом вариации произвольной постоянной.

3. 2. Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки

Уравнение (3) можно решить с помощью подстановки: y=UV, где U=U(x), V=V(x). Тогда .

Подставим и в (3):

Во многих примерах необходимо решить задачу Коши (например, в задачах №4, №5, №6, №11).Процесс решения сводится к отысканию частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка (n=1,2,3,...), удовлетворяющего n начальным условиям вида

.

.

Т.е. ищут общее решение дифференциального уравнения, а затем, воспользовавшись начальными условиями, находят значения всех n произвольных постоянных c₁, c₂,..., c_n, входящих в общий интеграл уравнения.

Задача №4. Найти решение задачи Коши:

.

Решение. Перед нами линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его двумя способами.

I-способ.

Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций U=U(X) и V=V(X), т.е. y=UV, одна из которых выбирается произвольным образом, а именно . Подставляя данное выражение в исходное уравнение, получим

.

Исходя из того, что одну из функций ищут произвольным образом, полученное уравнение разбивают на два следующим способом:

.

Выпишем первое уравнение из системы и решим его:

– дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Мы можем воспользоваться частным случаем функции V, например, когда c=1, V=x (значение для c берут таким образом, чтобы функция V не оказалась тождественно равной нулю, в противном случае невозможно будет искать функцию U). Подставим найденное значение для V во второе уравнение системы и найдем функцию U:

.

Следовательно, искомая функция

.

Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное условие, найдем c: c=0.

Т.е. решением задачи Коши, удовлетворяющем данному начальному условию является , что и будет ответом.

II-способ.

Метод вариации произвольной постоянной.

Составим и решим соответствующее однородное уравнение:

.

Теперь предположим, что константа c является функцией от переменной x, т.е. c=c(x), тогда y=xc(x). Найдем и подставим в исходное уравнение:

.

Интегрируя обе части уравнения, получим

.

Тогда – общее решение исходного дифференциального уравнения. Подставляя начальное условие, найдем, что c=0 и - частное решение.

Задача №5 .Решить задачу Коши

Решение. Так же как и в задаче №4 это линейное уравнение 1-го порядка, если рассматривать x как функцию от y. Преобразуем уравнение:

Решим его методом вариации произвольной постоянной.

1)

2)

3)

Подставляя 2) и 3) в исходное уравнение, получим

(*)

(Интегрировать уравнение (*) удобнее, если преобразовать правую часть, воспользовавшись тригонометрическими формулами.)

Тогда –общее решение исходного уравнения.

Подставляя начальное условие, найдем, что c=-2. Тогда решением задачи Коши будет