1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида:

(1)

называются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая такие уравнения, необходимо преобразовать их так, чтобы одна часть уравнения содержала только переменную у, а другая – только х, а затем проинтегрировать обе части.

Например, уравнение (1) надо разделить на , тогда получим

.

Проинтегрировав обе части, найдем общий интеграл:

. (2)

Кроме найденного общего интеграла (2) уравнению (1) могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения . Если эти решения не входят в общий интеграл (2), то они будут особыми решениями уравнения (1).

Приведем примеры решения конкретного уравнения рассматриваемого типа.

Задача №1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (ответ представить в виде (х, у)=с).

.

Решение. Уравнение представлено в дифференциальной форме. Для разделения переменных перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и сгруппируем выражения содержащие dx и dy:

Разделим обе части уравнения на , получим

.

Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:

.

В первообразных модули можно опустить, т.к. величины и всегда положительные.

Умножая обе части последнего уравнения на 2 и учитывая свойства логарифма, получим

.

В нашем примере уравнение представлено в дифференциальной форме. Возможны случаи, когда уравнение разрешено относительно производной, т.е. оно имеет вид и, когда не разрешено относительно производной — .

Например, для первого случая . В таких задачах необходимо учитывать, что

.

Тогда, .

Пример ко второму случаю: . Уравнение можно разрешить относительно производной и, таким образом, придем к первому случаю.

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным, если f(x,y) можно представить как функцию только одного отношения переменных

,

т.е. уравнение вида

.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными посредством замены функции у (или х) новой функцией t по формуле y=tx (x=ty), причем

.

Дифференциальное уравнение типа:

приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку (х₀,у₀) пересечения прямых ,т.е. замена переменных Х = х–х₀, У = у–у₀.

Если эти прямые не пересекаются, то , и рассматриваемое уравнение сводится к виду

,

которое приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой , тогда

Задача №2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Решение. Данное уравнение первого порядка уже разрешено относительно производной. Установим, что она является функцией только отношения переменных , т.е. установим, что данное уравнение является однородным. Для этого числитель и знаменатель дроби разделим на x².

.

Далее вводим новую функцию . Отсюда, .

После подстановки последнее уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными

.

Разделим переменные:

и, интегрируя, найдем

Возвращаясь к старым переменным, получим

Ответ:

Задача №3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение.

Также как и в задаче №2 задано однородное дифференциальное уравнение. Докажем это, найдя точку пересечения прямых, стоящих в числителе и знаменателе и сделав соответствующую замену переменных.

Из последней системы легко видеть, что . Подставим найденные х и у в исходное уравнение, получим

.

Далее решаем полученное однородное уравнение путем замены.

Возвращаясь к старым переменным, получим: , что и является ответом.