Комплексные числа.

Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Числа и называются комплексно-сопряженными.

Два комплексных числа и называются равными, если

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная ‑ мнимой осью.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма числа.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа.

Действия с комплексными числами.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1. Сложение и вычитание.

2. Умножение.

В тригонометрической форме:

,

3. Деление.

4. Возведение в степень.

, где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.

5. Извлечение корня из комплексного числа.

Таким образом, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим показательную функцию

Данное равенство называется уравнением Эйлера. Из него можно получить:

Математический анализ.

Числовая последовательность.

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число , то говорят, что задана последовательность

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к при n.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

Предел функции в точке.

Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a <  верно неравенство

f(x) - A< .

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а -  < x < a + , x  a, то верно неравенство А -  < f(x) < A + .

Запись предела функции в точке:

Определение:

Если f(x)  A1 при х  а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева,

а если f(x)  A2 при х  а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х=а.