Векторное произведение векторов.

Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. , где  - угол между векторами и ,

2. вектор ортогонален векторам и

3. , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Свойства векторного произведения векторов:

1. ;

2. , если  или = 0 или = 0;

3. Если заданы векторы и в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

 =

4. Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Пример. Найти векторное произведение векторов и .

= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).

(ед²).

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается или ( , , ).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

Если , , то

Пример. Найти объем пирамиды, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов:

Общее уравнение плоскости.

Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Для того, чтобы через три какие-либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D

,

заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

Уравнение прямой на плоскости.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой в отрезках.

,

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

, а = -1, b = 1.

Угол между прямыми на плоскости.

Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k1 = k2.

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

K1 = -3; k2 = 2 tg = ;  = /4.

Расстояние от точки до прямой.

Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Кривые второго порядка.

- уравнение эллипса.

- уравнение гиперболы.

– уравнение параболы.

– уравнение окружности радиуса с центром в точке .

Уравнение линии в пространстве.

Пусть F(x, y, z)=0 и Ф(x, y, z)=0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

Тогда пара уравнений

называется уравнением линии в пространстве.

Угол между плоскостями.

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

плоскости перпендикулярны, если: .

Плоскости параллельны, если: .

Полярная система координат.

Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

угол  называется полярным углом.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcos; y = rsin;

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

ОМ1 = r; MM1 = h;

Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, ).

Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, , h), которые определяют положение точки М в пространстве.

Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где  - угол между  и нормалью.

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат:

h = z; x = rcos; y = rsin;

cos = ; sin = .

Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной: