Операции над множествами
О
бъединением
двух множеств A и B (или
теоретико-множественной суммой)
называется множество, состоящее из
всех элементов, являющихся элементами
хотя бы одного из множеств A или B.
Таким образом,
.
Объединением системы
множеств
называется
множество
.
Для графического изображения операции объединения множеств используются диаграммы Эйлера-Венна, где множества представлены как замкнутые области, а результат операции показан заштрихованной частью (см. рис.1).
П
ересечением
двух множеств A и B (или
теоретико-множественным произведением)
называется множество элементов,
принадлежащих одновременно и A, и
B. Таким образом,
и
.
Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения двух множеств показана на рис.2.
Пересечением системы
множеств
называется
множество
.
Множества называются
дизъюнктными (или непересекающимися),
если
.
Аналогично для системы множеств:
множества
дизъюнктны, если любые два из них
дизъюнктны.
О
тносительным
дополнением множества B до
множества A (или теоретико-множественной
разностью) называется множество тех
элементов A, которые не являются
элементами B, таким образом, A \ B
и
.
Диаграмма на рис.3.
О
чевидно,
что если
,
то
.
И в общем случае произвольных множеств
A и B
имеет место равенство
.
Абсолютным дополнением
множества A называется множество
всех элементов, не принадлежащих A,
таким образом,
или
℧ \ A,
где ℧
–универсальное множество. Диаграмма
на рис.4.
С
имметрической
разностью двух множеств A и B
называется объединение двух разностей
A \ B и B \ A, т.е. A
B= (A \ B)
(B
\ A). Диаграмма на рис.5.
Примеры:
1) Пусть
,
.
Тогда
;
;
;
;
.
2) Пусть
- отрезок,
- полуинтервал. Тогда
;
;
;
;
;
;
.
3) Пусть А –
множество прямоугольников, В –
множество всех ромбов на плоскости. Тогда
={все прямоугольники и ромбы}; 
={все квадраты};
А \ В={прямоугольники, за исключением квадратов};
В \ А={ромбы без квадратов}.
4) Пусть
.
Рассмотрим систему
множеств
тогда
;
.
5) Пусть
.
Тогда
ℝ2,
.
Свойства множественных операций
1) Для любого множества
A
– свойство «нуля».
2) Для любого множества A A∪℧ = ℧, A∩℧ = A – свойство «единицы».
3) Для любого множества
A
– идемпотентность.
4) Для любых множеств
А и В
и
– коммутативность.
5) Для любых множеств
А, В и С
и
– ассоциативность.
6) Для любых множеств
А, В и С 
и
– дистрибутивность объединения и
пересечения. Для системы множеств
и
.
7) Для любого множества
A
– закон двойного отрицания.
8) а) Для любых множеств
А и В
и
– законы де Моргана для абсолютного
дополнения.
б) Для любых множеств
А, В и С
и
– законы де Моргана для относительного
дополнения.
в) Обобщенные законы
де Моргана: пусть А – фиксированное
множество и
.
Тогда
и
,
т.е. дополнение к объединению равно
пересечению дополнений, а дополнение
к пересечению равно объединению
дополнений.
9) Если
.
Если
.
Если
.
10) Для любых множеств
А и В
и
– законы поглощения.